Знак в программировании не равно

В математике линейное неравенствоэто неравенство, которое включает линейную функцию. Линейное неравенство содержит один из символов неравенства:[1] Оно показывает данные. Которые не равны в графической форме.

  • > больше, чем
  • ≤ меньше или равно
  • ≥ больше или равно
  • ≠ не равно
  • = равно

Линейное неравенство выглядит точно так же . Как линейное уравнение, со знаком неравенства. Заменяющим знак равенства.

Линейные неравенства вещественных чисел

Двумерные линейные неравенства

График линейного неравенства:
x + 3y

Двумерные линейные неравенства являются выражениями в двух переменных вида:

ax+byc and ax+byc,{\displaystyle ax+by

где неравенства могут быть либо строгими, либо нет. Множество решений такого неравенства может быть графически представлено полуплоскостью (все точки на одной “стороне” фиксированной линии) в евклидовой плоскости.[2] Прямая, определяющая полуплоскости (ax + by = c), не входит в набор решений. Когда неравенство строго. Простая процедура определения того . Какая полуплоскость находится в наборе решений. Состоит в том. Чтобы вычислить значение ax + by в точке (x0, y0), которая не находится на прямой. И посмотреть. Выполняется ли неравенство.

Например,[3], чтобы нарисовать набор решений x + 3y

Линейные неравенства в общих измерениях

В Rn линейными неравенствами являются выражения. Которые могут быть записаны в виде

f(x¯)b{\displaystyle f({\bar {x}})

или

f(x¯)b,{\displaystyle f({\bar {x}})\leq b,}

где fлинейная форма (также называемая линейным функционалом),

x¯=(x1,x2,,xn){\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}

а b — постоянное вещественное число.

Более конкретно это можно записать следующим образом

a1x1+a2x2++anxnb{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}

или

a1x1+a2x2++anxnb.{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.}

Здесь

x1,x2,...,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n}}

называются неизвестными, а

a1,a2,...,an{\displaystyle a_{1},a_{2},…,a_{n}}

называются коэффициентами.

В качестве альтернативы они могут быть записаны следующим образом

g(x)0{\displaystyle g(x)

или

g(x)0,{\displaystyle g(x)\leq 0,}

где gаффинная функция[4]

То есть

a0+a1x1+a2x2++anxn0{\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}

или

a0+a1x1+a2x2++anxn0.{\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.}

Обратите внимание. Что любое неравенство. Содержащее знак “больше” или “больше или равно”. Может быть переписано со знаком “меньше” или “меньше или равно”. Поэтому нет необходимости определять линейные неравенства с помощью этих знаков.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств-это набор линейных неравенств в одних и тех же переменных:

a11x1+a12x2++a1nxnb1a21x1+a22x2++a2nxnb2am1x1+am2x2++amnxnbm{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}

Здесь

x1, x2,...,xn{\displaystyle x_{1},\ x_{2},…,x_{n}}

это неизвестные,

a11, a12,..., amn{\displaystyle a_{11},\ a_{12},…,\ a_{mn}}

являются коэффициентами системы, а

b1, b2,...,bm{\displaystyle b_{1},\ b_{2},…,b_{m}}

это постоянные члены.

Это можно кратко записать как матричное неравенство

Axb,{\displaystyle Ax\leq b,}

где A-матрица m×n, x-вектор столбцов переменных n ×1, а b-вектор столбцов констант m ×1.

В приведенных выше системах могут использоваться как строгие. Так и нестрогие неравенства.

  • Не все системы линейных неравенств имеют решения.

Переменные могут быть исключены из систем линейных неравенств с помощью исключения Фурье–Моцкина[5]

Приложения

Многогранники

Множество решений вещественного линейного неравенства образует полупространство n-мерного вещественного пространства. Одно из двух. Определяемых соответствующим линейным уравнением.

Множество решений системы линейных неравенств соответствует пересечению полупространств. Определяемых отдельными неравенствами. Это выпуклое множество, так как полупространства являются выпуклыми множествами. И пересечение множества выпуклых множеств также выпукло. В невырожденныхслучаях это выпуклое множество является выпуклым многогранником (возможно. Неограниченным, например. Полупространством. Плитой между двумя параллельными полупространствами или многогранным конусом). Он также может быть пустым или выпуклым многогранником меньшей размерности. Ограниченным аффинным подпространством n-мерного пространства rn.

Линейное программирование

Задача линейного программирования направлена на оптимизацию (нахождение максимального или минимального значения) функции (называемой целевой функцией) с учетом ряда ограничений на переменные. Которые в общем случае являются линейными неравенствами.[6] Список ограничений представляет собой систему линейных неравенств.

Обобщение

Приведенное выше определение требует четко определенных операций сложения, умножения и сравнения; поэтому понятие линейного неравенства может быть распространено на упорядоченные кольцаи, в частности , на упорядоченные поля.

Рекомендации

  1. ^
  2. Технически, чтобы это утверждение было правильным, и а, и в не могут одновременно быть равны нулю. В этой ситуации множество решений является либо пустым. Либо всей плоскостью.
  3. ^ Angel & Porter 1989, p. 310
  4. ^ В двумерном случае и линейные формы. И аффинные функции исторически называются линейными функциями, потому что их графики являются линиями. В других измерениях ни один тип функции не имеет графа. Который является линией. Поэтому обобщение линейной функции в двух измерениях на более высокие измерения выполняется с помощью алгебраических свойств. И это приводит к разделению на два типа функций. Однако разница между аффинными функциями и линейными формами-это всего лишь добавление константы.
  5. ^

    Gärtner, Bernd; Matoušek, Jiří (2006). Понимание и использование линейного программирования

    . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-30697-8.

  6. Angel & Porter 1989, стр. 373

Источники

  • Angel, Allen R.; Porter, Stuart R. (1989),

    A Survey of Mathematics with Applications

    (3-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-13696-1

  • Миллер, Чарльз Д.; Heeren, Vern E. (1986),

    Mathematical Ideas (5-е изд.). Scott, Foresman,

    ISBN 0-673-18276-2

Внешние ссылки