Задание по программированию система линейных уравнений 1

Практические задачи во многих областях науки—таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика. Электроника, инженерия. Физика и социальные науки—часто сводятся к решению системы линейных уравнений. Линейная алгебра возникла из попыток найти систематические методы решения этих систем. Поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений. Если один, б, и сявляются действительными числами, то граф уравнения вида

   

является прямой линией (если одини бто и другое не равно нулю). Поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных икси.y Однако часто удобно писать переменные как

x_1, x_2, \dots, x_n, особенно когда задействовано более двух переменных. Уравнение вида

   

называется линейным уравнением в нпеременных x_1, x_2, \dots, x_n. Здесь a_1, a_2, \dots, a_nобозначают действительные числа (называемые соответственно коэффициентамиx_1, x_2, \dots, x_n) и бтакже числа (называемые постоянными членами уравнения). Конечная совокупность линейных уравнений в переменных x_1, x_2, \dots, x_nназывается системой линейных уравнений в этих переменных. Следовательно,

   

является линейным уравнением; коэффициенты x_1, x_2, и x_3являются 2,-3, и 5, и постоянный член есть 7. Обратите внимание. Что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

При заданном линейном уравнении

a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = bпоследовательность s_1, s_2, \dots, s_nнчисел называется решением уравнения , если

   

то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении подстановокx_1 = s_1, x_2 = s_2, \dots, x_n = s_n. Последовательность чисел называется решением системы уравнений. Если она является решением каждого уравнения в системе.

Система может вообще не иметь решения, или она может иметь единственное решение. Или она может иметь бесконечное семейство решений. Например, система x + y = 2x + y = 3не имеет решения , потому что сумма двух чисел не может быть 2 и 3 одновременно. Система, не имеющая решения, называется непротиворечивой; система, имеющая хотя бы одно решение, называется

непротиворечивой.

Покажите, что для произвольных значений сит,

   

является решением для системы

   

Просто подставьте эти значения x_1, x_2, x_3, и x_4в каждое уравнение.

   

Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для всех вариантов си т.

Величины си тв этом примере называются параметрами, а множество решений, описанное таким образом. Называется заданным в параметрической форме и называется общим решением системы. Оказывается. Что решения каждой системы уравнений (если есть решения) могут быть заданы в параметрической форме (то есть переменныеx_1x_2, \точкизадаются в терминах новых независимых переменных си тт. д.).

Когда речь идет только о двух переменных, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически. Потому что граф линейного уравнения ax + by = cявляется прямой линией. Если одиноба они бне равны нулю. Более того, точка P(s, t)с координатами си тлежит на прямой тогда и только тогда as + bt = c—то есть когда x = s, y = tявляется решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкамP(s, t), лежащим на всех рассматриваемых прямых.

В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений. Потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

  • Линии пересекаются в одной точке. Тогда система имеет уникальное решение, соответствующее этой точке.
  • Линии параллельны (и различны) и поэтому не пересекаются. Тогда у системы нет решения.
  • Линии идентичны. Тогда система имеет бесконечно много решений—по одному для каждой точки на (общей) прямой.

С тремя переменными график уравнения ax + by + cz = dможет быть показан как плоскость и, таким образом. Снова дает “картину” множества решений. Однако этот графический метод имеет свои ограничения: когда задействовано более трех переменных. Физическое изображение графиков (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более “алгебраическому” методу решения.

Перед описанием метода мы вводим понятие, которое упрощает связанные с ним вычисления. Рассмотрим следующую систему

   

из трех уравнений в четырех переменных. Массив чисел

   

происходящее в системе называется дополненной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для ясности константы разделены вертикальной линией. Дополненная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов переменных

   

называется матрицей коэффициентов системы и
называется постоянной матрицей системы.

Элементарные Операции

Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы считаются эквивалентными, если они имеют один и тот же набор решений. Система решается путем написания ряда систем, одна за другой, каждая эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том. Чтобы в конечном итоге получить систему. Которую легко решить. Каждая система в ряду получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так. Чтобы она не меняла набор решений.

В качестве иллюстрации мы решаем эту систему x + 2y = -22x + y = 7следующим образом. На каждом этапе отображается соответствующая дополненная матрица. Исходная система такова

   

Во-первых, дважды вычтите первое уравнение из второго. Результирующая система такова

   

что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на . В результате получается эквивалентная система

   

Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

   

Теперь эту систему легко решить! И поскольку она эквивалентна исходной системе, она обеспечивает решение этой системы.

Обратите внимание. Что на каждом этапе выполняется определенная операция над системой (и, следовательно. Над дополненной матрицей) для создания эквивалентной системы.

Следующие операции, называемые элементарными операциями, могут обычно выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

  1. Обменяйтесь двумя уравнениями.
  2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
  3. Добавьте кратное одному уравнению к другому уравнению.

Предположим, что над системой линейных уравнений выполняется последовательность элементарных операций. Тогда результирующая система имеет тот же набор решений, что и исходная, так что обе системы эквивалентны.

Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений. Производят соответствующие манипуляции со строками дополненной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число козначает умножение каждой записи строки на к. Добавление одной строки к другой строке означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Вычитание двух строк выполняется аналогично. Обратите внимание. Что мы рассматриваем две строки как равные, когда соответствующие записи одинаковы.

В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками дополненной матрицы. А не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

Следующие операции называются элементарными операциями строк над матрицей.

  1. Меняйте местами два ряда.
  2. Умножьте одну строку на ненулевое число.
  3. Добавьте несколько строк в другую строку.

На приведенном выше рисунке ряд таких операций привел к матрице вида

   

где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том. Чтобы получить матрицу вида

   

Это происходит не всегда, как мы увидим в следующем разделе. Вот пример, в котором это действительно происходит.

   

Решение:
Дополненная матрица исходной системы

   

Чтобы создать а 1в верхнем левом углу, мы могли бы умножить строку 1 на . Однако 1можно получить без введения фракций путем вычитания строки 2 из строки 1. В результате получается

   

Верхний левый 1теперь используется для “очистки” первого столбца. То есть создания нулей в других позициях в этом столбце. Сначала вычитаем 2раз строку 1 из строки 2, чтобы получить

   

Далее вычитаем 4раз строку 1 из строки 3. В результате получается

   

На этом работа над колонкой 1 завершена. Теперь мы используем символ 1во второй позиции второй строки. Чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1, а затем добавляя строку 2 в строку 3. Для удобства обе операции с рядами выполняются за один шаг. В результате получается

   

Обратите внимание. Что последние две манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там ноль). Поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны. Наконец мы убираем третью колонну. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

   

Теперь вычтите 3умножение строки 3 из строки 1, а затем добавьте 2умножение строки 3 в строку 2, чтобы получить

   

Соответствующими уравнениями являются , , и , которые дают (единственное) решение.

Алгебраический метод, введенный в предыдущем разделе, может быть обобщен следующим образом: Учитывая систему линейных уравнений, используйте последовательность элементарных операций строки. Чтобы перенести дополненную матрицу в “красивую” матрицу (это означает. Что соответствующие уравнения легко решить). В примере 1.1.3 эта приятная матрица приняла вид

   

Следующие определения идентифицируют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

Говорят, что матрица имеет рядно-эшелонную форму (и будет называться рядно-эшелонной матрицей, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

  1. Все нулевые строки (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
  2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке-это a 1, называемая ведущей 1для этой строки.
  3. Каждый ведущий 1находится справа от всех ведущих 1s в строках над ним.

Рядно-эшелонная матрица называется редуцированной рядно-эшелонной формой (и будет называться редуцированной рядно-эшелонной матрицей, если. Кроме того. Она удовлетворяет следующему условию:

4. Каждый ведущий 1является единственной ненулевой записью в своем столбце.

Рядно-эшелонные матрицы имеют “лестничную” форму. Как показано в следующем примере (звездочки обозначают произвольные числа).

   

Ведущие 1s идут “вниз и вправо” через матрицу. Записи выше и справа от ведущей 1буквы s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Таким образом, матрица в виде эшелона строк находится в уменьшенном виде, если. Кроме того. Записи непосредственно над каждым ведущим 1равны нулю. Обратите внимание. Что матрица в форме эшелона строк может быть перенесена в сокращенную форму с помощью нескольких операций строки (используйте операции строки для создания нулей над каждым ведущим последовательно. Начиная справа).

Важность рядно-эшелонных матриц вытекает из следующей теоремы.

Каждая матрица может быть приведена к (редуцированной) форме эшелона строк последовательностью элементарных операций над строками.

На самом деле мы можем дать пошаговую процедуру фактического нахождения матрицы ряд-эшелон. Заметим, что хотя существует множество последовательностей операций с рядами. Которые приведут матрицу к форме эшелона строк. Тарую мы используем. Является систематической и легко программируется на компьютере. Обратите внимание. Что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

Шаг 1. Если матрица целиком состоит из нулей, остановитесь—она уже в строчно-эшелонной форме.

Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите ее один), и переместите строку. Содержащую эту запись. В верхнюю позицию.

Шаг 3. Теперь умножьте новый верхний ряд на 1/аединицу, чтобы создать ведущий 1.

Шаг 4. Вычитая кратные этой строки из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального 1нуля. На этом первая строка завершается, и все дальнейшие операции выполняются с оставшимися строками.

Шаг 5. Повторите шаги 1-4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

Процесс останавливается, когда на шаге 5 либо не остается ни одной строки. Либо оставшиеся строки полностью состоят из нулей.

Заметим, что алгоритм гаусса рекурсивен: когда получено первое начало1, процедура повторяется для остальных строк матрицы. Это делает алгоритм простым в использовании на компьютере. Обратите внимание. Что решение примера 1.1.3 не использовало написанный алгоритм гаусса. Поскольку первый ведущий 1не был создан путем деления строки 1 на 3. Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общая схема ясна: создайте ведущие 1буквы s слева направо, используя каждую из них по очереди. Чтобы создать нули под ней. Вот один пример.

   

Решение:

Соответствующая дополненная матрица

   

Создайте первый ведущий, поменяв местами строки 1 и 2

   

Теперь вычтите 3раз строку 1 из строки 2 и вычитайте 4раз строку 1 из строки 3. В результате получается

   

Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

   

Это означает. Что следующая приведенная система уравнений

   

это эквивалентно исходной системе. Другими словами, они оба имеют одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует икс, yчтобы и зетудовлетворяло 0x + 0y + 0z = -3, и таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

Для решения линейной системы дополненную матрицу переводят в редуцированный рядно-эшелонный вид, а переменные. Соответствующие ведущим. Называют ведущими переменными. Поскольку матрица находится в редуцированной форме. Каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении. Так что это уравнение может быть решено. Чтобы дать формулу для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Непеременные переменные принято называть “свободными” переменными и обозначать их новыми переменными s, t, \dots, называемыми параметрами Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы. И каждое решение возникает таким образом. Эта процедура работает в целом и получила название

Для решения системы линейных уравнений поступим следующим образом:

  1. Если возникает строка, система несовместима.
  2. В противном случае назначьте нечитаемые переменные (если таковые имеются) в качестве параметров и используйте уравнения. Соответствующие приведенной матрице эшелона строк. Для решения для ведущих переменных в терминах параметров.

Существует вариант этой процедуры. При котором дополненная матрица переносится только в строко-эшелонную форму. Неуправляемые переменные назначаются в качестве параметров, как и раньше. Затем последнее уравнение (соответствующее форме Затем эта последняя ведущая переменная подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной подстановкой. Эта процедура может быть показана численно более эффективной и поэтому важна при решении очень больших систем.

Ранг

Можно доказать, что приведенная рядно-эшелонная форма матрицы Одиноднозначно определяется Одинформулой . То есть, независимо от того. Какой ряд операций с рядами используется для переноса Одинв уменьшенную матрицу эшелонов строк. Результат всегда будет одной и той же матрицей. В отличие от этого. Это не верно для матриц эшелонов строк: различные серии операций строк могут переносить одну и ту же матрицу Одинв разные матрицы эшелонов строк. Действительно, матрица может быть перенесена (одной строчной операцией) в рядно-эшелонную матрицу , а затем другой строчной операцией-в (редуцированную) рядно-эшелонную матрицу . Однако верно и то. Что число Р число ведущих 1 должно быть одинаковым в каждой из этих рядно-эшелонных матриц (это будет доказано позже). Следовательно, число Рзависит только от Одинтого, а не от способа. Которым Одиносуществляется рядно-эшелонированная форма.

Ранг матрицыОдин-это число ведущих 1s в любой рядно-эшелонной матрице, к которой Одинможно отнести рядные операции.

Вычислите ранг .

Решение:

Приведение Одинк рядно-эшелонной форме

   

Потому что эта рядо-эшелонная матрица имеет два ведущих 1s-ранга А = 2.

Предположим , что рангA = r, где Одиннаходится матрица со мстроками и нстолбцами. Тогда r \leq mпотому, что ведущие 1s лежат в разных строках, и r \leq nпотому, что ведущие 1s лежат в разных столбцах. Кроме того, ранг имеет полезное применение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

Доказательство:

Тот факт, что ранг дополненной матрицы являетсяР, означает. Что есть точно Рведущие переменные, и, следовательно. Точно н - рнепустые переменные. Все эти нечитаемые переменные назначаются в качестве параметров в гауссовском алгоритме. Поэтому набор решений включает в себя именно н - рпараметры. Следовательно , если rесть хотя бы один параметр, и поэтому бесконечно много решений. Если r = nнет параметров и поэтому уникальное решение.

Теорема 1.2.2 показывает. Что для любой системы линейных уравнений существует ровно три возможности:

  1. Никакого решения. Это происходит, когда строка появляется в форме эшелон строк. Это тот случай, когда система непоследовательна.
  2.  Уникальное решение. Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
  3.  Бесконечно много решений. Это происходит, когда система непротиворечива и существует по крайней мере одна неуправляемая переменная. Поэтому задействован по крайней мере один параметр.

 https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после того. Как вы откроете веб-страницу:
1. Для данной линейной системы, что представляет каждый из них?

2. Основываясь на графике, что мы можем сказать о решениях? Есть ли у системы одно решение, никакого решения или бесконечно много решений? Почему?

3. Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось в графике?

4. Для следующей линейной системы:

   

Можете ли вы решить ее с помощью исключения Гаусса? Когда вы смотрите на график, что вы наблюдаете?

Многие важные проблемы связаны с линейными неравенствами, а не с линейными уравнениями, например. С условием переменных икси yмогут принимать форму неравенства2x - 5y \leq 4, а не равенства 2x - 5y = 4. Существует метод (называемый симплексным алгоритмом) для нахождения решений системы таких неравенств. Которая максимизирует функцию видаp = ax + by, где одини бфиксируются константы.

Система уравнений в переменных x_1, x_2, \dots, x_nназывается однородной, если все постоянные члены равны нулю. То есть если каждое уравнение системы имеет вид

   

Ясноx_1 = 0, x_2 = 0, \dots, x_n = 0, что существует решение такой системы; оно называется тривиальным решением. Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным.
Наша главная цель в этом разделе-дать полезное условие для того. Чтобы однородная система имела нетривиальные решения. Поучителен следующий пример.

Покажите, что следующая однородная система имеет нетривиальные решения.

   

Решение:

Приведение дополненной матрицы к редуцированной форме ряд-эшелон изложено ниже.

   

Ведущими переменными являются x_1, x_2, и x_4, поэтому x_3присваивается в качестве параметра—скажем x_3 = t. Тогда общее решение таковоx_1 = -t:x_2 = t,x_3 = t, x_4 = 0. Следовательно, взяв t = 1(скажем), мы получим нетривиальное решение: x_1 = -1,x_2 = 1,x_3 = 1, x_4 = 0.

Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием параметра в решении. Это связано с тем. Что существует переменная без вычитки (x_3 в данном случае). Но здесь должна быть переменная без вычитания, потому что есть четыре переменные и только три уравнения (и. Следовательно, не более трех ведущих переменных). Это обсуждение обобщается на доказательство следующей фундаментальной теоремы.

Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных. Чем уравнений. То она имеет нетривиальное решение (по сути. Бесконечно много).

Доказательство:

Предположим , что существуют муравнения в нпеременных. Где и пусть Робозначается приведенная рядно-эшелонная форма дополненной матрицы. Если есть Рведущие переменные, то есть н - ри не ведущие переменные, и так н - рдалее. Поэтому достаточно показать, что р. Но r \leq mпотомуР, что имеет Рведущие 1s и мстроки, и мпо гипотезе. Итак r \leq m, что дает р.

Обратите внимание. Что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения . Она не должна иметь больше переменных. Чем уравнения (системаx_1 + x_2 = 0, 2x_1 + 2x_2 = 0имеет нетривиальные решения, но m = 2 = n.)

Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере приводится иллюстрация из геометрии.

Мы называем график уравнения ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0коническим, если числаодин,б, и сне все равны нулю. Покажите, что существует по крайней мере одна коника через любые пять точек плоскости. Которые не все находятся на прямой.

Решение:

Пусть координаты пяти точек будут(p_1, q_1),(p_2, q_2),(p_3, q_3),(p_4, q_4), и (p_5, q_5). Граф ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0проходов(p_i, q_i), если

   

Это дает пять уравнений, по одному для каждого я, линейные в шести переменныходин,б,с,д,e, и ф. Следовательно, существует нетривиальное решение по теореме 1.1.3. Если a = b = c = 0все пять точек лежат на прямой с уравнением dx + ey + f = 0, противоречащим предположению. Следовательно, один из один, б, сненулевой.

Линейные комбинации и основные решения

Что касается строк, то два столбца считаются равными, если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Пусть и — столбцы с одинаковым количеством записей. Что касается элементарных операций с рядами, то их сумма получается путем сложения соответствующих записей. А если кэто число, то скалярное произведение определяется умножением каждой записи на к. Точнее:

   

Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов. Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел си т.

Если и
тогда .

Решение:

Ибо мы должны определить , существуют ли числаРс, и тсуществуют ли такие , что, то есть

   

Приравнивание соответствующих записей дает систему линейных уравнений r + 2s + 3t = 0, s + t = -1, и r + t = 2для Р, с, и т. При исключении гаусса решение равно r = 2 - k, s = -1 - k, а t = kгде к— параметр. Взяв k = 0, мы видим, что это линейная комбинация , , и .

Обратившись , мы снова ищем Р, с, и ттакое что ; то есть,

   

приводя к уравнениямr + 2s + 3t = 1s + t = 1, и r + t = 1для действительных чиселР,с, и т. Но на этот раз нет решения, так как читатель может проверить, поэтому не является линейной комбинацией,, и .

Наш интерес к линейным комбинациям связан с тем. Что они обеспечивают один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. При
решении такой системы с нпеременными x_1, x_2, \dots, x_nзапишите переменные в виде матрицы столбцов: . Обозначается тривиальное решение . В качестве иллюстрации общее решение в
примере 1.3.1-этоx_1 = -t,x_2 = t,x_3 = t, и x_4 = 0, где тпараметр , и мы теперь выразим это,
сказав . Что общее решение, где тпроизвольно.

Теперь пусть и — два решения однородной системы с нпеременными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:

   

В самом деле, предположим , что типичное уравнение в системе естьa_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = 0, и предположим, что

, есть решения. Тогда a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = 0и
a_1y_1 + a_2y_2 + \dots + a_ny_n = 0.
Следовательно, это также решение. Потому что

   

Аналогичный аргумент показывает. Что утверждение 1.1 справедливо для линейных комбинаций из более чем двух решений.

Примечательно, что каждое решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений и, по сути. Эти решения легко вычисляются с помощью гауссовского алгоритма. Вот вам пример.

Решить однородную систему с матрицей коэффициентов

   

Решение:

Приведение дополненной матрицы к редуцированной форме

   

таким образом. Решения являются,x_2 = s,, и x_4 = tпутем исключения гаусса. Следовательно общее решение можно записать в матричном виде

   

Здесь и находятся частные решения. Определяемые гауссовским алгоритмом.

Решения и в примере 1.3.5 обозначаются следующим образом:

Гауссовский алгоритм систематически производит решения любой однородной линейной системы. Называемые базовыми решениями, по одному для каждого параметра.

Кроме того, алгоритм дает рутинный способ выразить каждое решение в виде линейной комбинации базовых решений, как в примере 1.3.5, где общее решение становится

   

Следовательно, вводя новый параметрr = t/5, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и таким образом исключить фракции.

По этой причине:

Любое ненулевое скалярное число базового решения все равно будет называться базовым решением.

Точно так же гауссовский алгоритм производит базовые решения для каждой однородной системы. По одному для каждого параметра (нет никаких базовых решений. Если система имеет только тривиальное решение). Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
этих базовых решений (как в примере 1.3.5). Если Одинимеет ранг Р, то теорема 1.2.2 показывает. Что существуют именно н-рпараметры, а значитн-р, и основные решения. Это доказывает:

Найти основные решения однородной системы с матрицей коэффициентов Одини выразить каждое решение как линейную комбинацию основных решений , где

   

Решение:

Приведение дополненной матрицы к редуцированной рядно-эшелонной форме

   

таким образом. Общее решение-этоx_1 = 3r - 2s - 2t,x_2 = r,x_3 = -6s + t,x_4 = s, и x_5 = tгдеР,с, и тявляются параметрами. В матричной форме это

   

Следовательно. Основными решениями являются