Задача линейного программирования графическим методом онлайн пример

Как руководитель компании, вы всегда имеете ограниченные или ограниченные ресурсы. И высшее руководство ожидает от вас. Чтобы вы максимально использовали их. От производительности времени до использования капитала, от земли до рабочей силы. От цепочки поставок до производства-почти все. Что вы делаете. Направлено на оптимизацию производительности. Большинство авиакомпаний оптимизируют расписание рейсов. Чтобы получить самый высокий доход и самые низкие затраты. Эти расписания авиакомпаний включают в себя множество ситуаций и ограничений. Таких как количество самолетов в определенном месте, топливо. Экипаж и тип маршрута (популярные и прибыльные маршруты).

Эти ситуации и ограничения известны как ограничения полета самолетов по наиболее популярному и выгодному маршруту. Линейное программирование используется для поиска решения данной ограниченной задачи.

В этом уроке вы узнаете о линейном программировании, и будут рассмотрены следующие темы:

  • Введение в линейное программирование
  • Основные понятия ЛПП
    • Переменная принятия решения
    • Ограничения
    • Целевая функция
    • Оптимальное решение
    • Осуществимое решение
    • Неосуществимое решение
    • Выполнимый регион
    • Ограничения неотрицательности
  • Постановка Задачи ЛПП(На Примере)

  • Графический метод решения LPP в электронной таблице
  • Примеры использования LPP
  • Вывод

Введение в линейное программирование

Математически линейное программирование оптимизирует (минимизирует или максимизирует) линейную цель нескольких переменных при заданных условиях/ограничениях. Удовлетворяющих набору линейных неравенств. Линейное программирование может быть применено при планировании таких видов экономической деятельности. Как транспортировка товаров и услуг. Производство продукции. Оптимизация электроэнергетических систем и сетевых потоков. Задачи LP могут быть решены с помощью различных методов, таких как графический. Симплексный и метод Кармакара.

Основные понятия ЛПП

Рассмотрим основные термины линейного программирования:

  • Переменные решения-это переменные, которые будут использоваться в качестве функции целевой функции. Эти переменные определяют ваш результат. Лицо, принимающее решение. Может управлять значением целевой функции с помощью переменной принятия решения. При решении любой задачи линейного программирования сначала необходимо определить переменные решения.

  • Ограничения — это набор ограничений или ситуационных условий. Ограничения могут быть в форме равенства или неравенства.

    Ограничения ограничивают значение переменных принятия решений.

  • Целевая функция-это функция прибыли или затрат, которая максимизирует или минимизирует. Это основная цель принятия решений.

  • Оптимальное решение-это одно из возможных решений, где целевая функция либо максимальна. Либо минимальна, например. Максимальная прибыль или минимальная стоимость. Это лучшее значение целевой функции.

  • Допустимое решение — это набор возможных значений переменных решения. Удовлетворяющий всем ограничениям. Задача ЛП выполнима, если выполнимо хотя бы одно решение.

  • Неосуществимое решение-это набор возможных значений переменных решения. Которые не удовлетворяют всем ограничениям. То есть не существует оптимального решения.

    Проблема LP является неосуществимым решением, если не существует решения. Удовлетворяющего всем ограничениям.

  • Допустимая область-это область, охватываемая из всех возможных наборов значений. Удовлетворяющих ограничениям или пересечению всех ограничений. Она включает в себя все неравенства, равенства и целочисленные ограничения.

  • Ограничения неотрицательности для переменных принятия решений. Которые принимают только неотрицательные значения.

    Такие ограничения больше или равны нулю.

Постановка Задачи ЛПП(На Примере)

Формулировка моделей линейного программирования включает в себя следующие шаги:

  • Определите переменные решения
  • Определите целевую функцию
  • Определите ограничения
  • Определите неотрицательные ограничения

В задаче линейного программирования переменные решения. Целевая функция и ограничения должны быть линейной функцией

Постановка задачи: Мебельный дилер имеет дело только с двумя предметами–столами и стульями. У него есть 50 000 рупий для инвестиций и есть место для хранения не более 60 штук. Стол стоит 2500 рупий, а стул-500 рупий.

Он подсчитал, что от продажи одного стола он может получить прибыль в 250 рупий. А от продажи одного стула-75 рупий. Он хочет знать, сколько столов и стульев он должен купить из имеющихся денег. Чтобы максимизировать свою общую прибыль. Предполагая. Что он может продать все предметы. Которые он покупает. (Источник)

В этом примере вы видите, что –

  1. Дилер может вложить свои деньги в покупку столов или стульев или их комбинацию. Кроме того, он будет получать различную прибыль. Следуя различным инвестиционным стратегиям. (Источник)
  2. Его инвестиции ограничены максимум 50 000 рупий, как и его складское пространство. Которое рассчитано максимум на 60 штук.

    (Источник)

Математическая формулировка:

Предположим, он решил купить только столы и никаких стульев. Таким образом, он может купить 50000/2500 = 20 столов. В этом случае он получит прибыль 250 х 20 = 5000 рупий. Или он решает купить только стулья и никаких столов. Таким образом, он может купить 50000/500 = 100 стульев.

В этом случае он получит прибыль 75 х 60 = 4500 рупий.

Можно было бы купить множество комбинаций столов и стульев.

Предположим, он покупает X столов и Y стульев. Поэтому X и Y должны быть неотрицательными.

  1. Дилер имеет максимальную сумму в размере 50000 рупий для покупки столов и стульев. –

    2500 X + 500 Y

  1. Максимальное количество единиц, которые он может хранить, — 60.

    X + Y

  1. Дилер хочет покупать в таких количествах, чтобы он мог максимизировать свою прибыль Z, следовательно. Уравнение будет иметь вид –

    Макс. Z : 250 X + 75 Y

Целевая функция: Max Z: 250 X + 75 Y

Подвержены ограничениям:

5 * X + Y = 0 

Источник: http://ncert.nic.in/ncerts/l/lemh206.pdf

Графический метод решения LPP в электронной таблице

Пример линейного программирования

Целевая функция: Max Z: 250 X + 75 Y

Подвержены ограничениям:

5 * X + Y = 0 

Шаг 1: Давайте запишем функцию в Excel, как показано ниже.

Шаг 2: После записи целевой функции и ограничений в электронную таблицу давайте рассчитаем значения ограничений C1 и C2. Вы можете вычислить значения, поставив другое значение переменной равным нулю. Как и для C1, при X = 0 значение Y будет равно Y = 100, а при Y = 0 значение X будет равно X = 20. Аналогично, для ограничений C2.

Шаг-3: Теперь, после вычисления значений, давайте построим график. Выберите значения ограничений C1, перейдите к вставке и постройте точечную диаграмму с сглаженными линиями. Вы можете увидеть свою диаграмму вот так.

Если это выглядит так, не волнуйтесь, выполните следующие действия, чтобы изменить его. Щелкните правой кнопкой мыши на диаграмме, перейдите к выбору данных, вы увидите там две серии. Удалите серию 2 и отредактируйте серию 1.

Назовите ряд как C1 и измените его значение X на значения столбца A C1 и значение Y на значения столбца B C1. И нажмите кнопку Вы увидите свою диаграмму, как показано ниже:

Шаг 4: 4. Снова перейдите к выбору данных, щелкнув правой кнопкой мыши на диаграмме, и добавьте еще один ряд. Назовите его C2 и в значениях X выберите ограничения C2 X значения столбцов. А в значениях Y выберите ограничения C2 Y значения столбцов.

Ваша диаграмма будет выглядеть так, как показано ниже:

Шаг 5: Теперь график построен, и вам нужно посмотреть на возможную область:

Теперь у вас есть 4 точки (O, A, B, C) в допустимой области области. Вам нужно вычислить значения целевой функции во всех точках. Чтобы увидеть. Какая точка дает вам максимальное значение цели.

Шаг 6: Чтобы вычислить значения целевой функции, выполните следующие действия:

Вычислите целевую функцию для каждого значения точки:

  • В точке O значения координат (X, Y) равны (0, 0), Следовательно. Значение целевой функции будет равно = (250

    0+750) = 0

  • В точке А значения координат (X, Y) равны (0, 60), Следовательно. Значение целевой функции будет равно = (2500+753) = 4500
  • В точке B значения координат (X, Y) равны (20, 0), Следовательно. Значение целевой функции будет равно = (2503+750) = 5000
  • В точке С, чтобы найти значения координат в точке Z. Нужно найти точку пересечения ограничительных линий С1 и С2. Вы будете использовать функцию MMULT() и MINVERSE() для вычисления пересечения двух уравнений.

  • MMULT(MINVERSE(array),array) # Это дает значения решения уравнений с двумя переменными Или. =MMULT(MINVERSE(AB17:AC18), AE17:AE18), Перед использованием этой формулы выделите значения X и Y ячеек желтым цветом выделенных ячеек и используйте эту функцию для вычисления точки пересечения двух уравнений и нажмите CTRL+SHIFT+ENTER

Конечные значения Z:

Как вы можете видеть здесь, в этой задаче линейной максимизации. У вас есть максимальное значение Z в точке B. И максимальное значение составляет Rs. 6250. Следовательно, чтобы максимизировать прибыль, дилер должен приобрести 10 столов и 50 стульев.

Примеры использования LPP

Линейное программирование применяется для поиска оптимальных решений при исследовании операций.

ЛП может найти наиболее оптимальное решение в заданных ограничениях и ограничениях. LP применим во всех видах проблем, таких как экономическая деятельность в сельском хозяйстве, машиностроении, производстве, энергетике. Логистике и цепочке поставок.

  • Инженеры применяют линейное программирование в обрабатывающей и производственной промышленности для оптимизации имеющихся ресурсов. Что позволяет им получать максимальную прибыль.

  • Логистика и транспортная отрасль используют линейное программирование для поиска кратчайшего пути/маршрута. Времени в пути и ценовой стратегии.

  • Инженеры применяют линейное программирование в энергетике. Они оптимизируют электрическую нагрузку, самые короткие линии распределения. А также оптимизируют конструкцию электрической сети.

  • В сельском хозяйствелинейное программирование может быть использовано инженерами для определения типа и количества культур . Которые они должны выращивать для эффективного увеличения доходов.

  • В пищевой промышленностилинейное программирование может помочь менеджерам здравоохранения и диетологам планировать диетические потребности и набор недорогих продуктов питания . Чтобы держаться подальше от неинфекционных заболеваний.

Вывод

Поздравляю, вы дошли до конца этого урока!

Вы рассмотрели много деталей о линейном программировании. Вы узнали, что такое линейное программирование, основные понятия и терминология, используемые в ЛП. Формулировка ЛП-задачи. Решение ЛП-задач графическим методом и примеры использования ЛП-задачи.

Надеюсь, теперь вы можете использовать концепции линейного программирования для принятия решений в вашей организации или оптимизации результатов для лиц. Принимающих решения. Спасибо, что прочитали этот учебник!

Если вы хотите узнать больше о электронных таблицах is, пройдите следующие курсы DataCamp: