Программирование нц 31

Визуализация степеней двойки от 1 до 1024 (от 20 до 210)

Степень два-это число вида 2n , где n-целое число, то есть результат экспоненции с числом два в качестве основания и целым числом n в качестве экспоненты.

В контексте, где рассматриваются только целые числа, n ограничено неотрицательными значениями[1], поэтому у нас есть 1, 2 и 2, умноженные на себя определенное количество раз.[2]

Поскольку два является основой двоичной системы счисления, степени двух являются общими в информатике. Записанная в двоичном виде, степень двух всегда имеет вид 100…000 или 0.00…001, как и степень 10 в десятичной системе.

Два в степени n, записанные как 2n, — это число способов, которыми могут быть организованы биты в двоичном

слове длины n. Слово, интерпретируемое как целое числобез знака . Может представлять значения от 0 (000…0002) до 2n − 1 (111…1112) включительно. Соответствующие целочисленные значения со знаком могут быть положительными. Отрицательными и нулевыми; см. Представления со знаком. В любом случае. Один меньше степени двух часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие. Номера этой формы часто появляются в программном обеспечении компьютера.

В качестве примера можно привести видеоигру запуск на 8-битной системе может ограничить счет или количество элементов . Которые игрок может держать до 255—результат использования байта, который имеет длину 8 бит, для хранения числа. Давая максимальное значение 28 − 1 = 255. Например, в оригинальной Легенде Zelda главный герой был ограничен 255 рупиями (валюта игры) в любой момент времени. А видеоигра Pac-Man лихо имеет экран убийства на уровне 256.

Степени двойки часто используются для измерения компьютерной памяти. Байт теперь считается восьмью битами (октетом), что приводит к возможности 256 значений (

28). (Термин набор битов, обычно от 5 до 32 бит . А не только 8-битную единицу.) Приставка килов сочетании с байтомможет быть и традиционно используется для обозначения 1,024 (2,10). Однако в целом термин Международной системе единиц для обозначения 1000единиц (10.3). Были стандартизированы двоичные префиксы. Такие как kibi (Ki). Что означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, которые являются степенями двух, 32 или 64, что очень распространено.

Силы двух встречаются и в ряде других мест. Для многих дисковод, по крайней мере. Один из размера сектора. Количество секторов на дорожку и количество дорожек на поверхность является степень двух. Размер логического блока почти всегда равен степени двух.

Числа. Которые не являются степенями двойки. Встречаются в ряде ситуаций. Таких как разрешение видео. Но они часто являются суммой или произведением только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус одна. Например, 640 = 32 × 20и 480 = 32 × 15. Иными словами. Они имеют довольно регулярные битовые паттерны.

Простые числа Мерсенна и Ферма

Простое число, которое на единицу меньше степени двух. Называется простым числом Мерсенна. Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна. Потому что оно на 1 меньше. Чем 32 (25). Аналогично, простое число (например, 257), которое на единицу больше положительной степени двух. Называется простым числом Ферма—сам показатель степени равен степени двух. Дробь, имеющая в качестве знаменателя степень двойки, называется диадической рациональной. Числа. Которые могут быть представлены как суммы последовательных положительных целых чисел. Называются вежливыми числами; это именно те числа. Которые не являются степенями двойки.

Элементы Евклида, книга IX

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (или, в двоичной системе счисления, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … ) это очень важно в теории чисел. Книга IX, Предложение 36 Элементов доказывает. Что если сумма первых n членов этой прогрессии является простым числом (и. Следовательно. Является простым числом Мерсенна. Как упоминалось выше). То эта сумма. Умноженная на n-й член. Является совершенным числом. Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, это простое число. Сумма 31, умноженная на 16 (5-й член в ряду), равна 496, что является совершенным числом.

Книга IX, Предложение 35, доказывает. Что в геометрическом ряду, если первый член вычитается из второго и последнего члена в последовательности, то как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего относится ко всем предшествующим. (Это повторение нашей формулы для геометрических рядов сверху.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (что получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31), мы видим, что 62 минус 31 равно 31, как 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Поэтому цифры 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются в 496 и далее это все числа. Которые разделите 496. Ибо предположим. Что p делит 496 и его нет среди этих чисел. Предположим, что p q равно 16 × 31, или 31 равно q, как p равно 16. Теперь p не может разделить 16 или это было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может разделить q. И поскольку 31 не делит q и q измеряет 496, фундаментальная теорема арифметики подразумевает. Что q должен делить 16 и быть среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть q-4, тогда p должно быть 124, что невозможно, так как по гипотезе p не находится среди чисел 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Таблица значений

(последовательность A000079 в OEIS)

н 2н н 2н н 2н н 2н
0 116 65,536324,294,967,29648281,474,976,710,656
1 217131,072338,589,934,59249562,949,953,421,312
2 418262,1443417,179,869,184501,125,899,906,842,624
3 819524,2883534,359,738,368512,251,799,813,685,248
4 16201,048,5763668,719,476,736524,503,599,627,370,496
5 32212,097,15237137,438,953,472539,007,199,254,740,992
6 64224,194,30438274,877,906,9445418,014,398,509,481,984
7 128238,388,60839549,755,813,8885536,028,797,018,963,968
8 2562416,777,216401,099,511,627,7765672,057,594,037,927,936
9 5122533,554,432412,199,023,255,55257144,115,188,075,855,872
10 1,0242667,108,864424,398,046,511,10458288,230,376,151,711,744
11 2,04827134,217,728438,796,093,022,20859576,460,752,303,423,488
12 4,09628268,435,4564417,592,186,044,416601,152,921,504,606,846,976
13 8,19229536,870,9124535,184,372,088,832612,305,843,009,213,693,952
1416,384301,073,741,8244670,368,744,177,664624,611,686,018,427,387,904
1532,768312,147,483,64847140,737,488,355,328639,223,372,036,854,775,808

Начиная с 2 последняя цифра является периодической с периодом 4, с циклом 2-4-8-6–. И начиная с 4 последние две цифры являются периодическими с периодом 20. Эти паттерны. Как правило. Верны для любой власти. По отношению к любой базе. Шаблон продолжается . Где каждый шаблон имеет начальную точку 2k, а период является мультипликативным порядком 2 по модулю 5k, который равен φ(5k) = 4 × 5k-1 (см. Мультипликативную группу целых чисел по модулю n).]

(последовательность A140300 в OEIS)

Первые несколько степеней 210 немного больше. Чем те же самые степени 1000 (103):

20=1= 10000(отклонение 0% )
210=1 024≈ 10001(отклонение 2,4% )
220=1 048 576≈ 10002(отклонение 4,9% )
230=1 073 741 824≈ 10003(отклонение 7,4% )
240=1 099 511 627 776≈ 10004(отклонение 10,0% )
250=1 125 899 906 842 624≈ 10005(отклонение 12,6% )
260=1 152 921 504 606 846 976≈ 10006(отклонение 15,3% )
270=1 180 591 620 717 411 303 424≈ 10007(отклонение 18,1% )
280=1 208 925 819 614 629 174 706 176≈ 10008(отклонение 20,9% )
290=1 237 940 039 285 380 274 899 124 224≈ 10009(отклонение 23,8% )
2100=1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376≈ 100010(отклонение 26,8% )
2110=1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305 024≈ 100011(отклонение 29,8% )
2120=1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576≈ 100012(отклонение 32,9% )
2130=1 361 129 467 683 753 853 853 498 429 727 072 845 824≈ 100013(отклонение 36,1% )
2140=1 393 796 574 908 163 946 345 982 392 040 522 594 123 776≈ 100014(отклонение 39,4% )
2150=1 427 247 692 705 959 881 058 285 969 449 495 136 382 746 624≈ 100015(отклонение 42,7% )

Полномочия двух. Чьи показатели являются степенями двух

Поскольку данные (в частности. Целые числа) и адреса данных хранятся с использованием одного и того же оборудования. А данные хранятся в одном или нескольких октетах (23), двойные экспоненты двух являются общими. Например,

н2н 22n (последовательность A001146 в OEIS)
01 2
12 4
24 16
38 256
416 65,536
5324,294,967,296
66418,446,744,073,709,551,616 (20 цифр)
7128340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456 (39 цифр)
8256115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936 (78 цифр)
951213,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,096 (155 цифр)
101,024179,769,313,486,231,590,772,930,…,304,835,356,329,624,224,137,216 (309 цифры)
112,04832,317,006,071,311,007,300,714,8…,193,555,853,611,059,596,230,656 (617 цифры)
124,0961,044,388,881,413,152,506,691,75…,243,804,708,340,403,154,190,336 (1,234 цифры)
138,1921,090,748,135,619,415,929,462,98…,997,186,505,665,475,715,792,896 (2,467 цифры)
1416,3841,189,731,495,357,231,765,085,75…,460,447,027,290,669,964,066,816 (4,933 цифры)
1532,7681,415,461,031,044,954,789,001,55…,541,122,668,104,633,712,377,856 (9,865 цифры)
1665,5362,003,529,930,406,846,464,979,07…,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729 цифры)
17131,0724,014,132,182,036,063,039,166,06…,850,665,812,318,570,934,173,696 (39,457 цифры)
18262,14416,113,257,174,857,604,736,195,7…,753,862,605,349,934,298,300,416 (78,914 цифры)

Некоторые из этих чисел представляют собой число значений. Представляемых с помощью обычных компьютерных типов данных. Например, 32-разрядное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять 232 различных значения , которые могут рассматриваться либо как простые битовые шаблоны, либо чаще интерпретироваться как беззнаковые числа от 0 до 2 32-1, или как диапазон знаковых чисел между -231 и 231 − 1. См. также тетрацию и нижние гипероперации. Дополнительные сведения о представлении подписанных чисел см. в разделе Дополнение двух.

В связи с нимберамиэти числа часто называют 2-степенями Ферма.

Числа

22n{\displaystyle 2^{2^{n}}}

образуют иррациональную последовательность: для каждой последовательности

xi{\displaystyle x_{i}}

положительных целыхчисел

i=0122ixi=12x0+14x1+116x2+{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots }

сходится к иррациональному числу. Несмотря на быстрый рост этой последовательности. Это самая медленная из известных последовательностей иррациональности.]

Выбранные степени двух

28 = 256
Число значений. Представленных 8 битами в байте, более конкретно называется октетом. (Термин байт часто определяется как набор битов, а не строгое определение 8-битного количества. Как показано в термине kilobyte.)
210 = 1,024
Двоичное приближение кило-, или 1000 множитель. Который вызывает изменение префикса. Например: 1,024 байта = 1 килобайт (или кибибайт).
212 = 4,096
Размер страницы оборудования процессора Intel x86-совместимого.
215 = 32,768
Число неотрицательных значений для 16-разрядного целого числа со знаком.
216 = 65,536
Число различных значений. Представимых в одном слове на 16-разрядном процессоре. Таком как оригинальные процессоры x86.]
Максимальный диапазон короткой целочисленной переменной в языках программирования C#и Java. Максимальный диапазон переменной Word или Smallint в языке программирования Pascal.
Число бинарных отношений на 4-элементном множестве.
220 = 1,048,576
Двоичное приближение мега-, или 1 000 000 множителя. Которое вызывает изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мибибайт).
224 = 16,777,216
Количество уникальных цветов , которые могут быть отображены в truecolor, который используется обычными компьютерными мониторами.
Это число является результатом использования трехканальной системы RGB с 8 битами для каждого канала или 24 битами в общей сложности.
Размер наибольшего целого числа без знака или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
229 = 536,870,912
Самая большая степень двойки с четкими цифрами в базе десять.]
230 = 1,073,741,824
Двоичное приближение множителя гига-, или 1,000,000,000, которое вызывает изменение префикса. Например, 1,073,741,824 байта = 1 гигабайт (или гибибайт).
231 = 2,147,483,648
Число неотрицательных значений для 32-разрядного целого числа со знаком. Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, оно закончится в 2147 483 647 секунд или 03:14:07 UTC во вторник, 19 января 2038 года. На 32-разрядных компьютерах под управлением Unix, проблема. Известная как проблема 2038 года.
232 = 4,294,967,296
Число различных значений. Представимых в одном слове на 32-битном процессоре.[6] Или число значений. Представимых в двухсловном слове на 16-разрядном процессоре. Таком как оригинальные процессоры x86.]
Диапазон intпеременной в языках программирования Java и C#.
Диапазон CardinalIntegerпеременной a или в языке программирования Pascal.
Минимальный диапазон длинной целочисленной переменной в языках программирования C и C++.
Общее количество IP-адресов под IPv4. Хотя это, казалось бы. Большое число, исчерпание IPv4-адресов неизбежно.
Число двоичных операций с доменом равно любому 4-элементному набору. Например GF(4).
240 = 1,099,511,627,776
Двоичное приближение тера-, или 1 000 000 000 000 множителя. Которое вызывает смену префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт (или тебибайт).
250 = 1,125,899,906,842,624
Двоичное приближение множителя peta-, или 1,000,000,000,000,000. 1,125,899,906,842,624 байта = 1 петабайт (или пебибайт).
253 = 9,007,199,254,740,992
Число. До которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в формате с плавающей запятой двойной точности IEEE.
256 = 72,057,594,037,927,936
Число различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES.
260 = 1,152,921,504,606,846,976
Двоичное приближение множителя exa-, или 1,000,000,000,000,000. 1,152,921,504,606,846,976 байт = 1 экзабайт (или эксбибайт).
263 = 9,223,372,036,854,775,808
Число неотрицательных значений для 64-разрядного целого числа со знаком.
264 = 18,446,744,073,709,551,616
Число различных значений. Представимых в одном слове на 64-разрядном процессоре. Или число значений. Представимых в двойном слове на 32-разрядном процессоре. Или число значений. Представимых в квадрослове на 16-разрядном процессоре. Таком как оригинальные процессоры x86.]
Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C#.
Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Pascal.
Общее количество IPv6-адресов, обычно предоставляемых одной локальной сети или подсети.
На одно больше. Чем количество зерен риса на шахматной доске , согласно старой истории, где первый квадрат содержит одно зернышко риса. А каждый последующий квадрат вдвое больше предыдущего. По этой причине число 264 − 1 известно как
264 − 1-это также количество ходов. Необходимых для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни.
268 = 295,147,905,179,352,825,856
Первая степень 2 содержит все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS)
270 = 1,180,591,620,717,411,303,424
Двоичное приближение множителя zetta-, или 1,000,000,000,000,000,000. 1,180,591,620,717,411,303,424 байта = 1 зеттабайт (или зебибайт).
280 = 1,208,925,819,614,629,174,706,176
Двоичное приближение умножителя yotta-, или 1,000,000,000,000,000,000,000. 1,208,925,819,614,629,174,706,176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт).
286 = 77,371,252,455,336,267,181,195,264
286 предполагается. Что это самая большая степень двух. Не содержащая нуля в десятичнойдроби.]
296 = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336
Общее количество IPv6-адресов, обычно передаваемых локальному интернет — реестру. В нотации CIDR провайдерам присваивается a /32, что означает . Что для адресов доступно 128-32=96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 296 адресов.
2108 = 324,518,553,658,426,726,783,156,020,576,256
Самая большая известная степень 2, не содержащая 9 в десятичной системе счисления. (последовательность A035064 в OEIS)
2126 = 85,070,591,730,234,615,865,843,651,857,942,052,864
Наибольшая известная степень 2, не содержащая пары последовательных равных цифр. (последовательность A050723 в OEIS)
2128 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456
Общее количество IP-адресов, доступных в рамках IPv6. Также количество различных универсально уникальных идентификаторов (UUID).
2168 = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856
Наибольшая известная степень 2 не содержит всех десятичных цифр (цифра 2 в данном случае отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS)
2192 = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896
Общее число различных возможных ключей в 192-битном пространстве ключей AES (симметричный шифр).
2229 = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912
2229-самая большая известная степень из двух. Содержащая наименьшее количество нулей относительно ее силы. Метин Сарияр предположил. Что каждая цифра от 0 до 9 склонна появляться равное число раз в десятичном разложении степени два по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS)
2256 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936
Общее количество различных возможных ключей в 256-битном пространстве ключей AES (симметричный шифр).
2333 = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592
Наименьшая мощность на 2 больше. Чем у гугола (10100).
21024 = 179,769,313,486,231,590,772,931,…,304,835,356,329,624,224,137,216
Максимальное число . Которое может поместиться в формате IEEE с двойной точностью с плавающей запятой, и, следовательно. Максимальное число. Которое может быть представлено многими программами. Например Microsoft Excel.
282,589,933 − 1 = 148,894,445,742,041,…,210,325,217,902,591
Самое большое известное простое число по состоянию на декабрь 2018. Он имеет более 24 миллионов цифр.[8]

Другие свойства

Сумма степеней двух до заданной положительной целочисленной степени на 1 меньше следующей степени двух

Сумма всех n-выбранных биномиальных коэффициентов равна 2n. Рассмотрим множество всех n-значных двоичных целых чисел. Его мощность равна 2н. Это также суммы мощностей некоторых подмножеств: подмножество целых чисел без 1 (состоящее из одного числа. Записанного как n 0), подмножество с одним 1, подмножество с двумя 1 и так далее до подмножества с n 1 (состоящее из числа. Записанного как n 1). Каждый из них в свою очередь равен биномиальному коэффициенту. Индексированному на n и количество рассматриваемых 1 (например. Есть 10-choose-3 двоичных числа с десятью цифрами. Которые включают в себя ровно три 1).

В настоящее время степени двух являются единственными известными почти идеальными числами.

Число вершин n-мерного гиперкуба равно 2n. Аналогично, число (n − 1)-граней n-мерного поперечного многогранника также равно 2n, и формула для числа x-граней n-мерного поперечного многогранника имеет вид

2x(nx).{\displaystyle 2^{x}{\tbinom {n}{x}}.}

Сумма взаимных степеней двух равна 1. Сумма обратных квадратов степеней двойки равна 1/3.

Наименьшая естественная степень двойки, десятичное представление которой начинается с 7, равна [9]

246=70 368 744 177 664.{\displaystyle 2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.}

Каждая степень 2 (исключая 1) может быть записана как сумма четырех квадратных чисел 24 способами. Степени 2 — это натуральные числа больше 1, которые могут быть записаны как сумма четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

  1. ^
  2. ^ Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике. Oxford: Oxford University Press. p. 78. ISBN 0-19-851494-8.
  3. ^ Guy, Richard K. (2004), «E24 Irrationality sequences», Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, архивировано с оригинала 2016-04-28
  4. Хотя они различаются по размеру слова. Все процессоры x86 используют термин
  5. ^ Prime Curios!: 536870912 . Архивирован с оригинала на 2017-09-05. Извлечено 2017-09-05.CS1 maint: архивная копия в качестве заголовка (ссылка)
  6. ^ . www.vaughns-1-pagers.com. Архивирован с оригинала 12 августа 2015 года.
  7. ^ Weisstein. Eric W. Из MathWorld-Веб-Ресурс Wolfram. . Архивирован с оригинала 2013-06-01. Извлечено 2013-05-29.CS1 maint: архивная копия в качестве заголовка (ссылка)
  8. ^ . www.mersenne.org.
  9. ^ Paweł Strzelecki (1994). (по-польски). Дельта. Архивирован с оригинала на 2016-05-09.