Программирование линейных уравнений информатика 8 класс

8.1 Системы уравнений 8.2 Неравенства в одной переменной 8.3 Линейные неравенства 8.4 Графические Решения

Еще при изучении линейных уравнений мы обнаружили пересечение двух прямых. Это позволило нам решить интересные задачи, найдя пару значений, удовлетворяющих двум различным уравнениям. Хотя в то время мы не называли это так, мы решали систему уравнений. Для начала рассмотрим пример проблемы, которую мы уже решали.

Небольшой бизнес производит подарочные корзины для мыла и лосьона. Труд, коммунальные услуги и другие постоянные расходы обходятся в 6000 долларов в месяц. Каждая корзина стоит 8 долларов, чтобы произвести, и продается за 20 долларов.

Сколько корзин компании нужно продавать каждый месяц, чтобы выйти на безубыточность?

С точки зрения бизнеса, “безубыточность” означает доход (внесенные деньги), равный затратам. Хотя к этой проблеме можно подойти несколькими способами, здесь мы сначала создадим две линейные функции. Одну для затрат. А другую для дохода.

Давайте определимн, сколько подарочных корзин компания продает в месяц. Есть $6000 постоянных затрат каждый месяц, и затраты увеличиваются на $8 для каждой корзины. Поэтому мы можем написать линейную функцию для затрат

С, как:

C(n)=6000+8n

Каждая продажа приносит 20 долларов, поэтому доходР, полученный после продажи нкорзин , будет:

R(n)=20n

Чтобы найти точку безубыточности, мы ищем количество корзин, где выручка будет равна затратам. Другими словами, если мы должны были изобразить две линейные функции, мы ищем точку. Которая лежит на обеих линиях; решение-это точка. Которая удовлетворяет обоим уравнениям.

В этом случае мы, вероятно, могли бы решить проблему из самого графа, но мы также можем решить ее алгебраически. Установив уравнения равными:

R(n)=C(n)
20n=6000+8n

Вычтите 8n с обеих сторон:

12n=6000

Делить:

Вычислите любую функцию на этом входе:

R(500)=C(500)=10 000

Точка безубыточности-500 корзин.

Компания должна продавать 500 корзин в месяц. И в этот момент ее доход в 10 000 долларов покроет их общие расходы в 10 000 долларов.

Приведенный выше пример иллюстрирует один тип системы уравнений, где оба уравнения даны в функциональной форме. Когда уравнения записаны таким образом, легко решить систему с помощью подстановки. Установив два выхода равными и решив для входа. Однако многие задачи системы уравнений не написаны таким образом.

Компания производит базовую и премиальную версии своего продукта. Базовая версия требует 20 минут сборки и 15 минут покраски.

Премиальная версия требует 30 минут сборки и 30 минут покраски. Если компания имеет штатное расписание на 3900 минут сборки и 3300 минут покраски каждую неделю. Если компания хочет полностью использовать все рабочие часы, сколько из каждого изделия они должны производить?

Сначала обратите внимание, что эта проблема имеет две переменные или две неизвестные – количество базовых продуктов. Которые нужно сделать. И количество премиальных продуктов. Которые нужно сделать. Есть также два ограничения – часы сборки и часы покраски. Это даст нам два уравнения в двух неизвестных, то, что мы называем системой уравнений 2 на 2.

Мы начнем с определения наших переменных:
б: количество произведенных базовых продуктов
п: количество произведенных премиальных продуктов

Теперь мы можем создать наши уравнения на основе ограничений. Каждый базовый продукт требует 20 минут сборки, поэтому производство бизделий потребует 20bминут. Каждый премиальный продукт требует 30 минут сборки, поэтому производство пизделий потребует 30 пенсовнескольких минут. Вместе у нас есть 3900 свободных минут, что дает нам уравнение:

20b+30p=3900

Использование того же подхода для рисования дает уравнение:

15b+30p=3300

Вместе они образуют нашу систему уравнений. Иногда они записываются в виде пары с фигурной скобкой слева, чтобы указать. Что их следует рассматривать как связанные уравнения.

Как и прежде, наша цель состоит в том, чтобы найти пару значений (b, p), удовлетворяющих обоим уравнениям. Мы вернемся к этой проблеме и вскоре решим ее.

Хотя это может быть неясно, уравнение20b+30p=3900, которое мы построили выше, является линейным уравнением. Как и линейные уравнения из первого примера. Просто оно написано по-другому. Мы могли бы, при желании, решить это уравнение такп, чтобы оно было записано в форме наклона-перехвата:

30p=3900-20b,

так

Мы обычно не делаем этого, так как это часто делает систему сложнее решить, чем при использовании других методов. Чтобы углубиться в это дальше, давайте сначала выясним, что значит найти решение системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений

состоит из двух или более линейных уравнений. Составленных из двух или более переменных таким образом. Что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.

Решение системы-это набор числовых значений для каждой переменной в системе. Которые будут удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.

Не каждая система будет иметь точно одно решение, но мы рассмотрим это более подробно позже. Чтобы проверить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений, вы должны:

  1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
  2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; если это так. То упорядоченная пара является решением.

Определите, является ли упорядоченная пара (5, 1)решением данной системы уравнений.

Подставим упорядоченную пару (5, 1)в оба уравнения.

Упорядоченная пара (5, 1)удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому она является решением системы.

Существует три общих метода решения систем линейных уравнений с двумя переменными. Первый-это решение с помощью построения графиков. В первом примере выше мы построили графики обоих уравнений, и решением системы было пересечение линий.

Решите следующую систему уравнений с помощью графика.

Решите первое уравнение для y.

Решите второе уравнение для y.

Изобразите оба уравнения на одном и том же наборе осей.

Линии, кажется, пересекаются в этой точке (-3, -2). Мы можем убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения.

Решением системы является упорядоченная пара (-3, -2).

  1. Решите следующую систему уравнений с помощью графика.

Хотя этот метод может работать достаточно хорошо, когда значения решения являются целыми числами. Он не очень полезен. Когда пересечение не находится в ясной точке. Кроме того, требуется решить оба уравнения для y, что добавляет дополнительные шаги. Из-за этих ограничений решение с помощью графика редко используется. Но может быть полезно для проверки правильности ваших алгебраических ответов.

Решение системы путем подстановки

Другим методом решения системы уравнений является метод подстановки. В котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной. А затем подставляем результат во второе уравнение для решения второй переменной.

Решение системы с помощью подстановки

  1. Решите одно из двух уравнений для одной из переменных в терминах другой.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, а затем решите для оставшейся переменной.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. По возможности запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Задача, которую мы сделали в примере 8.1 A, была технически выполнена путем подстановки, но это было проще. Так как оба уравнения уже были решены для одной переменной,y. Далее приведен пример более типичного случая.

2. Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

Подстановку можно использовать всегда, но она особенно хороша, когда одна из переменных в одном из уравнений имеет коэффициент 1 или -1, что позволяет легко решить эту переменную без введения дробей. Это довольно часто встречается во многих приложениях.

Джулия только что вышла на пенсию, и на ее пенсионном счете есть 600 000 долларов, которые ей нужно перераспределить. Чтобы получить доход. Она рассматривает две инвестиции: очень безопасную гарантированную ренту, которая обеспечит 3% процента. И несколько более рискованный облигационный фонд. Который в среднем составляет 7% процента. Она хотела бы инвестировать как можно меньше в более рискованный облигационный фонд. Но должна производить 40 000 долларов в год в процентах. Чтобы жить дальше. Сколько она должна вложить в каждый счет?

Обратите внимание, что в этой проблеме есть две неизвестные: сумма. Которую она должна инвестировать в аннуитет, и сумма. Которую она должна инвестировать в облигационный фонд. Мы можем начать с определения переменных для неизвестных:
один: Сумма (в долларах), которую она инвестирует в аннуитет
б: Сумма (в долларах), которую она инвестирует в облигационный фонд.

Наше первое уравнение исходит из того. Что вместе она собирается вложить 600 000 долларов:

a + b = 600 000

Наше второе уравнение будет исходить из интереса. Она зарабатывает 3% на аннуитете, так что проценты, заработанные за год, будут равны 0,03 а. Точно так же будут начисляться проценты по облигационному фонду за год 0.07 b. Вместе они должны составить 40 000 долларов. Что дает уравнение:

0.03 a + 0.07 b = 40 000

Вместе эти два уравнения образуют нашу систему. Первое уравнение является идеальным кандидатом на первый шаг подстановки – мы можем легко решить уравнение для одинилиб:

a = 600 000 - b

Тогда мы можем заменить это выражение на а во втором уравнении и решить.

Теперь подставьте это обратно в уравнениеa = 600 000 - b, чтобы найти один

Чтобы достичь своей цели, Джулии придется вложить $550 000 в облигационный фонд и $50 000 в аннуитет.

Решение системы методом сложения

Третьим методом решения систем линейных уравнений является метод сложения, называемый также методом исключения. В этом методе мы добавляем два члена с одной и той же переменной, но противоположными коэффициентами. Так что сумма равна нулю. Конечно, не все системы устроены так, что два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто мы должны корректировать одно или оба уравнения путем умножения. Чтобы одна переменная была исключена путем сложения.

Решение системы методом сложения

  1. Запишите оба уравнения с икспеременными – иy-в левой части знака равенства и константами-в правой.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выстроив соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении. Добавьте уравнения вместе. Исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число так. Чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении. А затем сложите уравнения. Чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите для второй переменной.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Часто использование метода сложения требует умножения одного или обоих уравнений на константу. Так что члены будут устранены. Используя эти подходы, мы можем вернуться к уравнению из примера 8.1 B.

В примере 8.1 B мы устанавливаем систему ниже. Решите ее.

Добавление уравнений не устранит переменную, но мы замечаем. Что коэффициенты на подинаковы. Поэтому умножение одного из уравнений на -1 изменит знак коэффициентов. Умножение второго уравнения на -1 дает систему

Добавление этих уравнений дает

Подставляя б= 30 в первое уравнение,

Решение заключается b = 120р = 50в том, что компания должна производить 120 базовых продуктов и 50 премиальных продуктов . Чтобы полностью использовать штатные часы.

Проверка нашего ответа во втором уравнении:

3. Решить систему уравнений сложением.

4. Решите систему уравнений сложением.


Зависимые и несогласованные системы

До сих пор мы рассматривали только случаи. Когда существует ровно одно решение системы. Можно классифицировать системы линейных уравнений по числу решений. уравнений имеет по крайней мере одно решение. Последовательная система считается , если у нее есть одно решение, например, примеры. Которые мы только что исследовали. Две линии имеют разные наклоны и пересекаются в одной точке плоскости.

Непротиворечивой системой считается если уравнения имеют один и тот же наклон и одно и то же yзначение. Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию. Каждая точка на линии представляет собой координатную пару, которая удовлетворяет системе. Таким образом, существует бесконечное число решений.

Другой тип системы линейных уравнений-это , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии. Линии имеют одинаковый наклон и разныеy-перехваты. Нет точек, общих для обеих линий; следовательно, нет решения системы.

Типы линейных систем

  • имеет ровно одну пару решений (x,y). Точка пересечения двух линий-единственное решение.
  • не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекаются.
  • имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая координатная пара на линии является решением обоих уравнений.

Мы можем использовать подстановку или добавление для идентификации несогласованных систем. Напомним, что несогласованная система состоит из параллельных линий, которые имеют один и тот же наклон. Но разныеy-перехваты. Они никогда не пересекутся. При поиске решения несогласованной системы мы придем к ложному утверждению, например, 12 = 0.

Решите следующую систему уравнений.

Мы можем подойти к этой проблеме двояко. Поскольку одно уравнение уже решено икс, наиболее очевидным шагом является использование подстановки.

 

Ясно, что это утверждение является противоречием (ложным утверждением), потому 9 \ne 13что . Поэтому у системы нет решения, и система непоследовательна.

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными-это система. В которой два уравнения представляют одну и ту же линию. Зависимые системы имеют бесконечное число решений, потому что все точки на одной прямой также находятся на другой. После использования подстановки или сложения полученное уравнение будет тождеством, например

Найдите решение системы уравнений с помощью метода сложения.

С помощью метода сложения мы хотим устранить одну из переменных, добавив уравнения. В этом случае давайте сосредоточимся на устранении икс. Если мы умножим обе стороны первого уравнения на -3, то сможем исключить икспеременную -.

Мы видим. Что существует бесконечное число решений, удовлетворяющих обоим уравнениям. В некоторых случаях достаточно осознать, что существует бесконечное число решений, и на этом можно остановиться. В других случаях мы захотим описать набор решений.

Один из способов-просто сказать , что это набор точек, которые удовлетворяютx + 3y = 2, но часто мы решаем это уравнение для y и описываем решение как набор точек .

5. Решите системы:
a.

б.

Системы с 3 переменными в 3 неизвестных

В системах с двумя переменными решением является упорядоченная пара(x, y), удовлетворяющая обоим уравнениям. Решение, заданное для системы три на три, является упорядоченной тройкой (x, y, z). Графически упорядоченная тройка определяет точку пересечения трех плоскостей в пространстве. Вы можете визуализировать такое пересечение, представив себе любой угол в прямоугольной комнате. Угол определяется тремя плоскостями: двумя смежными стенами и полом (или потолком). Любая точка, где встречаются две стены и пол, представляет собой пересечение трех плоскостей.

Мы можем использовать методы, изученные в предыдущем разделе, для решения систем уравнений 3 на 3, сводя задачу к той. Которую мы уже знаем. Как решить.

Учитывая линейную систему из трех уравнений, решите для трех неизвестных

  1. Возьмите любую пару уравнений и решите для одной переменной.
  2. Возьмите другую пару уравнений и решите для той же переменной.
  3. Вы создали систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решите полученную систему два на два.
  4. Подставьте известные переменные обратно в любое из исходных уравнений и решите для недостающей переменной.

6. Решите систему уравнений по трем переменным.

Многие проблемы в реальной жизни зависят от более чем двух неизвестных.

Чад пытается спланировать прием пищи для достижения конкретных целей в области питания. Он хочет создать блюдо, содержащее рис, тофу и арахис, которое обеспечит 30 г белка, 14 г жира и 50 г углеводов. Сколько каждого ингредиента он должен использовать?

Во-первых, мы предполагаем, что любые другие ингредиенты, используемые в рецепте. Не вносят достаточно значительного вклада в питание. Чтобы их можно было рассматривать. Чтобы ответить на этот вопрос, нам сначала нужно знать питательное содержание ингредиентов. Смотрю вот это:

Белый рис: 1 чашка обеспечивает: 0 г жира, 44 г углеводов, 4 г белка

Тофу: 1 чашка обеспечивает: 10 г жира, 5 г углеводов, 20 г белка

Арахис: 1 чашка обеспечивает: 72 г жира, 31 г углеводов, 35 г белка

Теперь мы можем определить наши переменные. Нас интересует количество каждого ингредиента. Поэтому мы определим наши переменные как количество каждого ингредиента:

Р: чашки риса, т: чашки тофу, п: чашки арахиса.

Теперь для каждого питательного вещества мы можем составить уравнение. Поскольку 1 чашка риса обеспечивает 44 г углеводов, Рчашки обеспечат 44рграммы углеводов. Точно ттак же чашки тофу дадут 5тграммы, а пчашки арахиса31р-граммы. Вместе мы хотим. Чтобы наш рецепт обеспечивал 50 г углеводов, давая уравнение:
44r + 5t + 31p = 50

То же самое для жира и белка дает полную систему:

Теперь мы можем решить систему.

Шаг 1. Обратите внимание, что уравнение сечения уже не включает переменную Р. Чтобы упростить задачу, первым шагом может быть замена двух последних уравнений таким образом. Чтобы два уравнения с тремя переменными выстроились в одну линию.

Шаг 2. Поскольку Рэто уже исключено в последнем уравнении, мы исключим Риз первых двух уравнений. Умножьте уравнение (2) на -11.

Шаг 3. Добавьте уравнения (1) и (2), записав результат в виде строки 2.

Шаг 4. Умножьте уравнение (2) на 2 и уравнение (3) на 43.

Шаг 5. Сложите уравнения (2) и (3), записав результат в строку 3.

Шаг 6. Решите для пв уравнении 3. Для такой реальной задачи, как эта, десятичные аппроксимации, вероятно, хороши.

Шаг 7. Обратно подставьте значение пв уравнение (2) для решения т.

Шаг 8. Обратно подставьте значения для пи тв уравнение (1) и решите для Р.

Для достижения своих целей в питании Чад должен использовать 0,979 стакана риса, 1,273 стакана тофу и 0,0176 стакана арахиса.

Эту конкретную систему было довольно неприятно решать. В оставшейся части главы мы познакомимся с некоторыми другими методами решения сложных систем.


Дайте Ему Немного Подумать Ответы

1. Решением системы является упорядоченная пара (-5, 3).

2. (-2, -5)

3. (-6, -2)

4. (10, -4)

5. a. Нет решения. Система непоследовательна.
Система зависима, поэтому существуют бесконечные решения формы (x, 2x + 5).

6. (1, -1, 1)

Раздел 8.1 Упражнения

  1. Решите каждую из следующих систем уравнений.
    1. 3x+2y=-1
      5x+3y=-2
    2. 4x-5y=25
      3x+2y=13
    3. y=-10x
      3y=29-x
    4. 2y=3x+17
      3x=11-5y
    5. 48a-32b=128
      16a+48b=32
    6. 0,5 м+0,3 н=54
      0,3 м+0,7 н=74

  2. Кайла и Амина соглашаются создать партнерство. Которое требует, чтобы Амина вложила 6465 долларов. Что составляет менее трех четвертей того. Что должна вложить Кайла. Если общая стоимость партнерства составляет 61 243 доллара, то сколько вложил каждый партнер?
  3. Колледжский театр собрал 1300 долларов с продажи 450 билетов. Если билеты были проданы за 2.50 и3,50 доллара, то сколько билетов было продано по каждой цене?
  4. Работнику платят 16 долларов в час. На прошлой неделе общее количество регулярных и сверхурочных часов сотрудника в полтора раза составило 44, а общая сумма компенсации составила 800 долларов. Сколько штатных и сверхурочных часов работал сотрудник?
  5. Мебельная компания выпускает 93 прикроватных столика в день, работая в две смены. Вторая смена произвела 33 прикроватных столика. Что составляет менее пяти половин от количества прикроватных столиков. Произведенных первой сменой. Определите количество прикроватных тумбочек, изготовленных каждой сменой.
  6. Эйад диверсифицировал свои инвестиции таким образом. Что часть его инвестиций приносила проценты в размере 4% годовых. А часть-6% годовых. Если общий годовой процент по инвестициям составляет 560 долларов, а он вкладывает в 4% вдвое больше. Чем в 6%. То сколько вложил Эйад по каждой ставке?
  7. Компания Kirkland продает два продукта. Каждая единица Продукта А требует пяти единиц труда, тогда как каждая единица Продукта В требует двух единиц труда. За каждый период времени можно получить двести единиц рабочей силы. Сколько из каждого продукта они могут продать?
  8. Продажи Нэнси на прошлой неделе были на 140 долларов в три раза меньше. Чем у Андреа. Вместе они продали 940 долларов. Сколько каждый продал на прошлой неделе?
  9. Политический кандидат заложил в бюджет 10 000 долларов на рекламу на радио и телевидении. Реклама на радио стоит 200 долларов за 30-секундный ролик. А реклама на телевидении-800 долларов за 30-секундный ролик. Сколько радио-и телевизионных роликов может купить кандидат за 10 000 долларов. Если он хочет вести столько же радио-и телевизионных роликов. Сколько и телевизионных?
  10. Ресторан предлагал два фирменных ужина. Разница между семикратными заказами на первый специальный ужин и четырехкратными заказами на второй специальный составляет 12. Сумма трех четвертей заказов для первого специального и двух третей заказов для второго специального составляет 21. Найдите количество заказов для каждого спецпредложения.
  11. Завод – изготовитель выпускает два типа надувных лодок-двухместную и четырехместную. Каждая двухместная лодка требует 0,9 рабочих часов в режущем отделе и 0,8 рабочих часов в сборочном отделе. Каждая четырехместная лодка требует 1,8 рабочего часа в отделе резки и 1,2 рабочего часа в отделе сборки. Ежемесячное общее количество трудозатрат в режущем и сборочном цехах составляет 864 и 672 соответственно. Сколько лодок каждого типа может изготовить завод?
  12. Менеджер по персоналу пытается оценить стоимость несчастного случая на производстве. Эти затраты обычно состоят из прямых затрат (таких как медицинские счета. Повреждение оборудования и судебные издержки) и косвенных затрат (таких как снижение объема производства. Задержки производства и штрафы). Из прошлого опыта она знает. Что косвенные издержки в среднем в шесть раз превышают прямые. Если она оценивает стоимость несчастного случая в 21 000 долларов, какова прямая стоимость несчастного случая?
  13. Больница Святого Бонифация собирает средства на исследования с помощью своей Мега-лотерейной программы. В этой программе 16 000 билетов доступны для покупки по цене один за 100 долларов или три за 250 долларов. В этом году лотерея была распродана с продажами в размере 1 506 050 долларов. Чтобы лучше спланировать лотерею на следующий год, менеджер по маркетингу хочет знать. Сколько билетов было куплено по каждому варианту в этом году.
  14. Бухгалтер пытается распределить производственные затраты по двум различным продуктам в соответствующие бухгалтерские книги. К сожалению, производственный журнал за прошлую неделю пропал. Однако из других документов ему удалось выяснить, что всего на прошлой неделе было произведено 1250 единиц. Производственное оборудование было запущено в течение 2562,5 минут, и он знает. Что производство продукта А занимает 1,5 минуты. А производство продукта В-2,75 минуты. Сколько единиц каждого продукта было произведено на прошлой неделе?
  15. Бутылка апельсинового напитка объемом 240 мл утверждает, что он сделан из настоящего фруктового сока. При изучении списка ингредиентов только 15% содержимого на самом деле является фруктовым соком. Сколько миллилитров “других ингредиентов” в бутылке?
  16. Goodyear Tires только что завершила акцию “Купи три и получи один бесплатно” на своих ультра-сцепных внедорожных шинах. Регулярно оцениваемых по цене $249,99 за шину. В ходе акции было продано 1405 шин, что привело к продажам на сумму 276 238,95 доллара. Сколько шин было продано по обычной цене и сколько шин было продано по специальной акционной цене?
  17. Местная бейсбольная команда продает билеты с двумя ценовыми зонами. Места за тарелкой от первой базы до третьей базы стоят по 20 долларов за билет. Все остальные места на базовых линиях и во внешнем поле стоят по 10 долларов за билет. На вчерашней игре присутствовало 5 332 болельщика, а общий доход от билетов составил 71 750 долларов. Сколько билетов в каждой зоне было продано?
  18. Марианна, Уильям, Хендрик и Шарлотта решили вместе заняться бизнесом. Им нужно $175 000 в первоначальном капитальном финансировании. Уильям внес на 20% меньше. Чем Марианна, Хендрик-на 62,5% больше. Чем Уильям, а Шарлотта-на 5000 долларов меньше. Чем Марианна. Сколько каждый партнер внес в начальные фонды?
  19. Торговый центр строится и должен соответствовать законодательным требованиям по наличию парковки. Законы о парковке требуют одного парковочного киоска на каждые 100 квадратных футов торговой площади. Торговый центр рассчитан на 1 200 000 квадратных футов торговых площадей. Из общего числа доступных парковочных мест 2% должны быть доступны для инвалидов. Небольших парковочных мест должно быть в три раза больше. Чем мест для инвалидов. Парковочных мест для фургонов должно быть одна четверть от числа небольших парковочных мест. А остальные места предназначены для обычных парковочных мест. Сколько парковочных мест каждого типа требуется торговому центру?

Изучая домен и диапазон. Вы узнали о неравенствах и использовании построителя множеств и интервальной нотации для их представления. В этом разделе мы рассмотрим, как решить линейные и абсолютные неравенства значений одной переменной. Процесс очень похож на решение уравнений, но вместо того, чтобы решение было единственным значением. Решение будет неравенством.

Обратите внимание, что если неравенство истинно, например 2:

Добавление числа к обеим сторонам:

Вычитание числа с обеих сторон:

Умножение положительного числа с обеих сторон:

Деление на положительное число с обеих сторон:

Мы можем использовать эти операции точно так же, как и при решении уравнений.

Решать 3x + 7 \geq 1

Это неравенство представляет собой множество решений. Он говорит нам, что все числа, большие или равные -2, будут удовлетворять исходному неравенству. Мы также могли бы записать это решение в интервальной нотации, как [-2, \infty)

Чтобы понять, что происходит, мы могли бы также рассмотреть проблему графически. Если бы мы построили график уравнения y = 3x +7, то решение 3x + 7 \geq 1соответствовало бы вопросу “для каких значений иксis y\geq 1”.

Обратите внимание, что та часть графика, где это верно, соответствует тому, где x\geq -2.

Хотя большинство операций при решении неравенств те же, что и при решении уравнений. Мы сталкиваемся с проблемой при умножении или делении обеих сторон на отрицательное число. Обратите внимание, например:

Чтобы объяснить это, при умножении или делении на отрицательное число мы должны перевернуть знак неравенства.

Правила решения линейных неравенств

  1. Вы можете добавить или вычесть положительное или отрицательное число к обеим сторонам неравенства.
  2. Вы можете умножить или разделить обе части неравенства на положительное число.
  3. Вы можете умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число. Но вы должны изменить направление неравенства.

Решать 12 - 4x

1. Решите: 6 + 2x\leq18 + 5x

Компания тратит 1200 долларов в день на накладные расходы и рабочую силу, и каждый продукт, который они производят. Стоит 5 долларов за материалы. Если они продают товары по 15 долларов каждый, сколько товаров им нужно продавать каждый день. Чтобы их прибыль была положительной?

Хотя мы могли бы решить эту проблему с помощью уравнений, она также поддается неравенствам, поскольку мы хотим. Чтобы прибыль была положительной: .

Расходы: C(q) = 1200 + 5q

Доход: R(q) = 10q

Прибыль: P(q) = 10q - \left(1200 + 5q\right) = 5q - 1200

Решение:

Чтобы получать прибыль, компании нужно будет производить не менее 240 наименований продукции в день.

Сложные неравенства

Составные неравенства — это неравенства, состоящие из более чем одной части. Наиболее распространенный тип называется трехсторонним неравенством. Базовая версия выглядит так: -1 < 3x + 5.

Когда мы пишем их, важно. Чтобы оба неравенства указывали в одном и том же направлении и чтобы “внешнее” неравенство также было истинным – в данном случае -1 < 14истинным. Поэтому это справедливо. Выражения типа 10 < xи 1 < xне являются допустимыми обозначениями.

Наиболее универсальным способом решения трехстороннего неравенства является:

  1. Разбейте его на два отдельных неравенства
  2. Решите каждое неравенство отдельно
  3. По возможности комбинируйте решения.

Решать -1 < -3x + 5

Сначала мы разделим это на два неравенства:

-1

и

-3x +5

Теперь мы решаем каждый:

и

Теперь мы можем объединить эти наборы решений. Числа, где оба и истинны, — это множество:

Хотя это решение справедливо и правильно. Чаще всего пишется решение трехсторонних неравенств с меньшим числом слева. Мы могли бы переписать решение как:

-3 < x

Это также имеет то преимущество, что лучше соответствует ответу в интервальной нотации: (-3, 2).

С этим конкретным неравенством также можно было бы пропустить шаг разбиения его на части и вместо этого просто вычесть 5 из всех трех “частей” неравенства. Это работает для простых задач, подобных этой, но может потерпеть неудачу. Если неравенство имеет переменные в более чем одной “части” неравенства.

2. Решите: 4\leq2x + 6

Абсолютное значение

До сих пор в этом разделе мы рассматривали неравенства, которые являются линейными. Теперь мы обратимся к неравенствам абсолютных величин. Функция абсолютного значения-это кусочно-определенная функция, состоящая из двух линейных функций.

Функция Абсолютного Значения

Функция абсолютного значения может быть определена как

График абсолютной величины выглядит как V:

Функция абсолютного значения обычно используется для определения расстояния между двумя числами в числовой строке. Даны два значения одини б, то |a - b|даст расстояние, положительную величину, между этими значениями, независимо от того. Какое значение больше.

Опишите все значенияикс, находящиеся на расстоянии 4 от числа 5.

Мы хотим. Чтобы расстояние между икси 5 было меньше или равно 4. Расстояние может быть представлено с помощью абсолютного значения. Дающего выражение

|x - 5|\leq4

Опрос, проведенный в 2010 году, показал, что 78% американцев считают. Что геи должны иметь возможность служить в вооруженных силах США. С сообщенной погрешностью в 3%. Предел погрешности говорит нам о том, насколько далеко фактическое значение может быть отклонено от значения опроса. Выразите набор возможных значений, используя абсолютные значения.

Так как мы хотим. Чтобы размер разницы между фактическим процентом,п, и отчетным процентом был меньше 3%,

|p - 78|\leq3

3. Студенты, набравшие в пределах 20 баллов из 80, пройдут тест. Запишите это как расстояние от 80, используя обозначение абсолютного значения.

Решение Уравнений Абсолютных Величин

Чтобы решить подобное уравнение 8 = |2x - 6|, мы можем заметить, что абсолютное значение будет равно 8, если величина внутри абсолютного значения будет равна 8 или -8. Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо:

или

Решения уравнений абсолютных величин

Уравнение вида |A| = Bс B\geq 0будет иметь решения , когда A = Bили A = -B.

Решать: 0 = |4x + 1| - 7

или

Есть два решения: x = -2

Решать 1 = 4|x - 2| + 2

Изолируя абсолютное значение с одной стороны уравнения,

В этот момент мы замечаем. Что это уравнение не имеет решений – абсолютное значение всегда возвращает положительное значение. Поэтому абсолютное значение не может равняться отрицательному значению.

4. Найдите горизонтальные и вертикальные перехваты для функции

f(x) = -|x + 2| + 3

Решение Неравенств Абсолютных величин

Когда абсолютные значения неравенств записываются для описания набора значений, как неравенство|x - 5|\leq4, которое мы писали ранее. Иногда желательно выразить этот набор значений без абсолютного значения. Либо используя неравенства. Либо используя интервальную нотацию.

Мы рассмотрим два подхода к решению абсолютных неравенств значений:

  1. Использование графика
  2. Использование тестовых значений

Решать |x - 5|\leq4

При обоих подходах нам сначала нужно будет знать, где соответствующее равенство истинно. В этом случае мы сначала выясним, где |x -5| = 4. Мы делаем это потому, что абсолютное значение-это приятная дружественная функция без разрывов, поэтому единственный способ, которым значения функции могут переключиться с значения меньше 4 на значение больше 4, — это пройти через то место. Где значения равны 4. |x - 5| = 4,

или

Чтобы использовать график, мы можем нарисовать функцию f(x) = |x - 5|. Чтобы помочь нам увидеть, где выходы равны 4, линию g(x) = 4также можно было бы нарисовать.

На графике мы видим. Что действительно выходные значения абсолютной величины равны 4 при x = 1и x = 9. Основываясь на форме графика. Мы можем определить абсолютное значение меньше или равно 4 между этими двумя точками, когда 1\leq x\leq 9. В интервальной нотации это будет интервал [1, 9].

В качестве альтернативы построению графиков, определив, что абсолютное значение равно 4 при x = 1и x = 9, мы знаем. Что график может измениться только с меньшего значения 4 на большее. Чем 4 при этих значениях. Это делит числовую строку на три интервала: x, 1 < x, и . Чтобы определить, когда функция меньше 4, мы могли бы выбрать значение в каждом интервале и посмотреть. Является ли выход меньше или больше 4.

Так 1 < xкак это единственный интервал, в котором выход при тестовом значении меньше 4, мы можем заключить. Что решение |x - 5|\leq4ис 1\leq x\leq 9.

Учитывая функцию , определите, для каких иксзначений значения функции являются отрицательными.

Мы пытаемся определить , гдеf(x) , что и когда . Начнем с выделения абсолютной величины:

Далее мы решаем для равенства |4x - 5| = 6

или

Теперь мы можем либо выбрать тестовые значения. Либо нарисовать график функции, чтобы определить. На каких интервалах исходное значение функции отрицательно. Обратите внимание, что на самом деле даже не важно, как именно выглядит график, пока мы знаем. Что он пересекает горизонтальную ось в точке и и что график был перевернут.

Из графика функции мы видим. Что значения функции отрицательны слева от первого горизонтального перехвата at и отрицательны справа от второго перехвата at . Это дает нам решение неравенства:

В интервальной нотации это будет

6. Решите -2|k - 4|\leq-6

Существует третий подход к решению неравенств абсолютных величин, который является формальным. Хотя это работает, и вы можете использовать его, гораздо более вероятно, что вы вспомните другие подходы.

Решения неравенств абсолютных величин

Решать |А| , решать: -B < A

Чтобы решить , решите: или А

Решать 3|x + 4| - 2\geq7

Мы должны начать с выделения абсолютного значения:

Теперь мы можем разбить все это на части и решить каждую часть отдельно:

или

В интервальной нотации это будет выглядеть так ( - \infty , - 7] \cup [ - 1,\infty )


Дайте Ему Немного Подумать Ответы

1. x\geq-4

2. 4\leq wx+6

3. Использование переменной пдля передачи, |p-80|\leq 20

4. f(x)=-|x+2|+3

5. f(0) = 1, таким образом. Вертикальный перехват находится в (0, 1)точке .
f(x)= 0 когда x = -5и x = 1поэтому горизонтальные перехваты находятся в (-5, 0)(1, 0)точке и.

6. кили ; в интервальной нотации это будет

Раздел 8.2 Упражнения

  1. Решите каждое неравенство, запишите множество решений с помощью интервальной формы и постройте его график.
    1. 2x+1
    2. -2-4x\ge 6
  2. Используйте графовую нотацию решения. Чтобы записать следующее, используя один интервал, если это возможно.
    1. (-\infty,0)∪(-\infty,5)
    2. (4,7)∩(2,\infty)
    3. (-3,\infty)∩(2,\infty)
    4. (-\infty,4)∪[4,5]
    5. [3,6]∩(5,7]
    6. [-5,\infty)∪(9,\infty)
  3. Решите следующие неравенства и опишите решения, используя набор, интервал и графовую нотацию:
  4. Решите каждое сложное неравенство. Запишите набор решений с помощью интервальной нотации и постройте его график.
    1. и 2+1,5 x
    2. 5-х и 0,2 х-3
    3. и
    4. 1-х или
    5. или
    6. или 0
    7. и
    8. и
    9. 1\le 3x-5
    10. -2
    11. -2\le 3-6x
    12. -13<5-9x
  5. Напишите неравенство, чтобы описать следующую ситуацию: Кейт купит куртку при условии. Что ее стоимость Ссоставит не более 117 долларов.
  6. Компания тратит 1200 долларов в день на накладные расходы и рабочую силу, и каждый продукт, который они производят. Стоит 5 долларов за материалы. Если они продают товары по 15 долларов каждый, сколько товаров им нужно продавать каждый день. Чтобы их прибыль была положительной?
  7. Рассмотрим следующий прямоугольник. При каких значениях (измеренных в см) прямоугольник будет иметь периметр не менее 242 см?
    Прямоугольник со сторонами 6x+9 и 3x+4
  8. Для каких значений икскаждое из следующих выражений является действительным числом?
  9. Студент набрал 67 баллов на промежуточном экзамене по психологии 101. Если среднее значение его промежуточного и выпускного экзамена должно быть между 79 и 90 включительно для B. То для какого диапазона баллов на выпускном экзамене студент получит B? Оба теста имеют максимум 100 баллов. Напишите свой ответ в интервале​
  10. Чтобы получить двойку по математике, требуется в среднем от 80 до 89 включительно. Лия набрала 76, 82 и 90 баллов по первым трем математическим тестам. После четвертого теста она заявляет. Что теперь у нее средний балл В каком диапазоне находился ее балл в четвертом тесте. Чтобы это утверждение было правдой? Запишите свой ответ в интервальной нотации.
  11. Чтобы отправить конверт по почте. Почта Канады берет 37 центов за первый грамм и 25 центов за каждый дополнительный грамм. Каков вес конверта, который можно отправить по почте за 8,35 доллара? Запишите свой ответ в интервальной нотации.
  12. Автомобиль арендуется за 45 долларов в день плюс 21 цент за километр. Ваш ежедневный бюджет составляет 66 долларов. Сколько километров вы можете покрыть, чтобы остаться в рамках вашего бюджета?
  13. Анна подумывает о том, чтобы написать и издать собственную книгу. Она оценивает свой доход R=6,41 xи свою стоимость C=10039+1,09 xкак иксколичество проданных книг. Найдите минимальное количество книг, которые она должна продать, чтобы получить прибыль.
  14. Ян набрал 65 баллов на промежуточном экзамене по математике. Если итоговый экзамен считается в два раза больше. Чем промежуточный экзамен. То какой диапазон итогового экзамена приведет к окончательному среднему значению между 79 и 90? Оба теста имеют максимум 100 баллов. Напишите свой ответ в интервальной форме.
  15. Canada post определяет обхват коробки как сумму удвоенной ширины и удвоенной ширины. Максимальная допустимая длина, высота и ширина-2 м, а длина плюс обхват-не более 3 м. Если ящик имеет длину 1 м и ширину 75 см, то в каком диапазоне может быть его высота?

В разделе В некоторых случаях, однако. Для компании может быть не самым разумным использовать все часы работы персонала; если премиальный продукт имеет высокий спрос и высокую цену. Для компании может быть более разумным сделать как можно больше таких часов. Даже если некоторые часы работы персонала остаются неиспользованными. В этом случае компания может быть наиболее заинтересована в том. Какие комбинации производства базовых и премиальных продуктов возможны. Для этого нам нужны линейные неравенства.

Линейное уравнение в двух переменных-это уравнение типа f(x) = 2x + 1, которое иногда пишется без обозначения функции как y = 2x + 1. Напомним, что граф этого уравнения представляет собой прямую, образованную всеми точками(x, y), удовлетворяющими уравнению. Линейное неравенство по двум переменным аналогично, но включает в себя неравенство. Некоторые примеры:

у

y\geq5 - 2x

Линейные неравенства также могут быть записаны с обеими переменными на одной стороне уравнения, например 2x - 3y.

Решением, заданным для линейного неравенства, будут все точки(x, y), удовлетворяющие неравенству. Обратите внимание , что линия y = 2x + 1делит координатную плоскость на две половины: на одну уи на другую . Множество решений линейного неравенства будет полуплоскостью, и чтобы показать множество решений. Мы затеняем ту часть координатной плоскости. Где точки лежат в множестве решений.

Для графического решения линейного неравенства

  1. При необходимости перепишите линейное неравенство в форму, удобную для построения графика, например. В форме склон-перехват.
  2. Составьте график соответствующего линейного уравнения.

    b. Для неравенства, включающего знак равенства (≤ или≥), нарисуйте сплошную линию, чтобы показать. Что точки на линии являются частью решения.

  3. Выберите тестовую точку, а не на линии.
    a. Подставим тестовую точку в неравенство
    b. Если неравенство истинно в контрольной точке, затените полуплоскость на стороне, включающей контрольную точку
    с. Если неравенство не истинно в контрольной точке, затените полуплоскость на стороне, не включающей контрольную точку.

1. Постройте график решения задачи

Магазин продает арахис по 4 доллара за фунт и орехи кешью по 8 долларов за фунт. И планирует продавать новую смесь смешанных орехов в банке. Какие комбинации арахиса и кешью возможны, если они хотят, чтобы смесь стоила 6 долларов или меньше?

Мы начинаем с определения наших переменных:
п: Количество фунтов арахиса в 1 фунте смеси
с: Количество фунтов кешью в 1 фунте смеси

Стоимость одного фунта смеси будет такой 4р + 8с, что все смеси стоимостью 6 долларов или меньше удовлетворят неравенству 4p + 8c\leq6.

Мы можем 4р + 8с = 6довольно легко построить график уравнения, найдя перехваты:
Когда п= 0,

Итак, дело поставлено на карту.

Когда c = 04p =6, значит , давая точку .

Обратите внимание, что тестовая точка (0, 0)удовлетворит неравенству, поэтому мы затеняем сторону линии. Включая начало координат.

Из-за контекста разумными являются только значения в первом квадранте. График показывает все возможные комбинации. Которые может использовать магазин. Включая 1 фунт арахиса с 1/4 фунта кешью или 1/2 фунта каждого.

Системы линейных неравенств

В главе Аналогично можно рассмотреть систему линейных неравенств. Решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам в системе.

С помощью одного линейного неравенства мы можем показать множество решений графически. Аналогично, с системой линейных неравенств мы показываем множество решений графически. Мы находим его, ища, где области, указанные отдельными линейными неравенствами, перекрываются.

График решения системы линейных неравенств

Если мы изобразим набор решений для каждого неравенства отдельно, мы получим два набора решений, показанных здесь.

Построение графиков этих множеств решений на одних и тех же осях показывает решение системы неравенств как область. Где они пересекаются.

Набор решений, где области перекрываются:

Набор решений, нарисованный в одиночку:

2. Постройте график решения системы линейных неравенств

Следующий вопрос аналогичен задаче, которую мы решили с помощью систем в главе

Компания производит базовую и премиальную версии своего продукта. Базовая версия требует 20 минут сборки и 15 минут покраски. Премиальная версия требует 30 минут сборки и 30 минут покраски. Если компания имеет штатное расписание на 3900 минут сборки и 3300 минут покраски каждую неделю. Сколько изделий можно тогда произвести в пределах своего штатного расписания?

Обратите внимание, что эта проблема отличается от вопроса, который мы задавали в первом разделе. Поскольку мы больше не заботимся о полном использовании персонала. Нас интересует только то. Что возможно. Как и прежде, мы определим
б: Количество произведенных базовых продуктов; Количество произведенных
ппремиальных продуктов.

Так же, как мы создали уравнения в первом разделе, теперь мы можем создавать неравенства, так как мы знаем. Что часы. Используемые в производстве. Должны быть меньше или равны имеющимся часам. Это приводит к двум неравенствам:

График этих неравенств дает нам множество решений.

Поскольку рассматривать отрицательные числа элементов нецелесообразно. Мы можем далее ограничить решения первым квадрантом. Это также может быть представлено добавлением неравенств b\geq0и p\geq0.

В наборе решений мы видим решение системы уравнений. Которую мы решили в предыдущем разделе: 120 базовых продуктов и 50 премиальных продуктов. Набор решений показывает, что если компания не готова полностью использовать штат сотрудников. Существует множество других возможных комбинаций продуктов. Которые они могли бы производить.

Методы, которые мы использовали выше, являются ключевыми для отрасли математики. Называемой линейным программированием. Которая широко используется в бизнесе. Далее в следующем разделе мы рассмотрим линейное программирование.


Дайте Ему Немного Подумать Ответы

1.

2.

Раздел 8.3 Упражнения

  1. Изобразите вручную область решения каждой из следующих систем неравенств, определите ее угловые точки и укажите. Является ли область ограниченной или неограниченной.
    1. x+y\le 17
      4x+y\ge 5
      Ответ
    2. x+y<-2
      4x+2y\ge 5
      Ответ


    3. Ответ

Разве не было бы хорошо. Если бы мы могли просто производить и продавать бесконечно много единиц продукта и таким образом получать бесконечную сумму денег? В бизнесе (и в повседневной жизни) мы знаем. Что некоторые вещи просто неразумны или невозможны. Вместо этого мы надеемся максимизировать или минимизировать некоторую величину, учитывая набор ограничений.

Чтобы иметь задачу линейного программирования, мы должны иметь:

  • Ограничения, представленные в виде неравенств
  • , то есть функция, значение которой мы либо хотим быть как можно большим (хотим максимизировать его). Либо как можно меньшим (хотим минимизировать его).

Рассмотрим это расширение примера из конца предыдущего раздела.

Компания выпускает базовую и премиальную версии своего продукта. Базовая версия требует 20 минут сборки и 15 минут покраски. Премиальная версия требует 30 минут сборки и 30 минут покраски. Если у компании есть штатное расписание на 3900 минут сборки и 3300 минут покраски каждую неделю. Они продают основные продукты с прибылью в 30 долларов. А премиальные продукты-с прибылью в 40 долларов. Сколько из каждой версии должно быть произведено. Чтобы максимизировать прибыль?

Пусть б= количество произведенных базовых продуктов и п= количество произведенных премиальных продуктов. Наша целевая функция-это то. Что мы пытаемся максимизировать или минимизировать. В данном случае мы пытаемся максимизировать прибыль. Общая прибыль, П, составляет

P = 30b + 40p

В последнем разделе пример развивал наши ограничения. Вместе они определяют нашу задачу линейного программирования:

Целевая функция: P = 30b + 40p

Ограничения:

В этом разделе мы рассмотрим этот тип проблемы графически. Мы начинаем с построения графиков ограничений для определения – набора возможных решений. Просто показывая набор решений, где четыре неравенства перекрываются, мы видим четкую область.

Чтобы рассмотреть, как связывается целевая функция, предположим. Что мы рассмотрели все возможные производственные комбинации. Которые дали прибыль П= 3000 долл 3000 = 30b + 40p. Этот набор комбинаций образует линию на графике. Делая то же самое с прибылью в 5000 и 6500 долларов, вы получаете дополнительные линии. Рисуя графики тех, кто находится поверх нашей возможной области, мы видим закономерность:

Обратите внимание, что все линии с постоянной прибылью параллельны. И что в целом прибыль увеличивается по мере движения вверх справа вверху. Обратите внимание также. Что для прибыли в 5000 долларов есть некоторые уровни производства внутри допустимого региона для этого уровня прибыли. Но некоторые находятся снаружи. Это означает, что мы могли бы реально получить прибыль в размере 5000 долларов. Производя, например, 167 базовых предметов и никаких премиальных предметов. Но мы не можем сделать 5000 долларов. Производя 125 премиальных предметов и никаких базовых предметов. Потому что это выходит за рамки наших ограничений.

Решением нашей задачи линейного программирования будет максимально возможная прибыль. Которая еще возможна. Графически это означает линию, самую дальнюю к верхнему правому краю. Которая все еще касается допустимой области по крайней мере в точке. Это решение приведено ниже:

Эта линия прибыли касается допустимой области , где b = 195иp = 0, давая прибыль П= 30(195) + 40(0) = $5850.

Обратите внимание, что это немного больше , чем прибыль. Которая была бы получена при полном использовании всего персонала в b = 120p = 50компании. Где прибыль составила бы 5600 долларов.

Целевая функция вместе с четырьмя угловыми точками выше образует ограниченную задачу линейного программирования. То есть представьте, что вы смотрите на три столба забора. Соединенных ограждением (черная точка и линии соответственно). Если бы вы поставили свою собаку посередине, вы могли бы быть уверены, что она не убежит (при условии. Что забор достаточно высок). Если это так. То у вас есть ограниченная задача линейного программирования. Если собака может идти бесконечно в любом направлении, то проблема безгранична.

В предыдущем примере вы можете видеть. Что линия максимальной прибыли всегда будет касаться границы допустимой области. Это наблюдение вдохновляет на фундаментальную теорему линейного программирования.

Фундаментальная теорема линейного программирования

  • Если существует решение ограниченной задачи линейного программирования, то оно возникает в одной из угловых точек.
  • Если допустимая область не ограничена, то максимальное значение целевой функции не существует.
  • Если допустимая область неограничена, а целевая функция имеет только положительные коэффициенты. То существует минимальное значение.

В последнем примере мы решаем проблему несколько интуитивно, “сдвигая” линию прибыли вверх. Обычно мы используем более процедурный подход.

Графическое решение Задачи Линейного программирования

  1. Определите переменные, которые должны быть оптимизированы. Заданный вопрос-хороший показатель того, какими они будут.
  2. Напишите целевую функцию сначала словами, а затем преобразуйте ее в математическое уравнение
  3. Запишите ограничения сначала словами, а затем преобразуйте их в математические неравенства
  4. Постройте график неравенств ограничений и затените допустимую область
  5. Определите угловые точки, решая системы линейных уравнений, пересечение которых представляет собой угловую точку.
  6. Проверьте все угловые точки в целевой функции. “Выигрышная” точка-это точка. Которая оптимизирует целевую функцию (наибольшая при максимизации. Наименьшая при минимизации)

1. Максимизация P = 14x + 9yс учетом ограничений:

Бизнес здорового питания хотел бы создать высококалорийную смесь сухофруктов в виде коробки из 10 фруктовых батончиков. Он решает использовать курагу, у которой 407 мг калия на порцию, и сушеные финики, у которых 271 мг калия на порцию. Компания может закупать свои фрукты оптом по разумной цене. Курага стоит $9,99/фунт (около 3 порций), а сушеные финики — $7,99/фунт (около 4 порций). Компания хотела бы, чтобы коробка батончиков имела, по крайней мере, рекомендуемое ежедневное потребление калия около 4700 мг и содержала, по крайней мере, 1 порцию каждого плода. Чтобы свести к минимуму затраты, сколько порций каждого сухофрукта должно идти в коробку батончиков?

Начнем с определения переменных. Пусть
икс = количество порций кураги
y = количество порций сушеных фиников

Далее мы работаем над целевой функцией.

Для абрикосов есть 3 порции в одном фунте. Это означает, что стоимость одной порции составляет $9,99/3 = $3,33. Таким образом, стоимость икспорций будет такой 3.33 x.

Для фиников есть 4 порции на фунт. Это означает, что стоимость одной порции составляет $7,99/4 = $2,00. Стоимость yпорций, таким образом, будет 2.00 y.

Общая стоимость, С, для абрикосов и фиников будет C = 3,33 x + 2,00 y

Обычно у нас были бы ограниченияx\geq0, и y\geq0поскольку отрицательные порции не могут быть использованы. Но в этом случае мы еще больше ограничены. На словах:

  • Должно быть не менее 1 порции каждого фрукта
  • Продукт должен содержать не менее 4700 мг калия

Математически,

Таким образом, мы имеем
Объективную функцию:

C = 3,33 x + 2,00 y

Ограничения:

Мы строим графики ограничений и затеняем возможную область:

Область безгранична, но мы сможем найти минимум еще. Мы видим. Что есть две угловые точки.

Тот, что в левом верхнем углу, является пересечением линий 407x + 271y = 4700и.x = 1 Решение задачи для пересечения с использованием подстановки:

Точка: (1, 15.8)

Тот, что в правом нижнем углу, — это пересечение линий 407x + 271y = 4700и y = 1.

Точка: (10.9, 1)

Тестирование целевой функции в каждой из этих угловых точек:

Компания может минимизировать затраты, используя 1 порцию абрикосов и 15,8 порции фиников.

2. Компания производит два продукта. Изделие А требует 3 часов изготовления и 1 час сборки. Продукт В требует 4 часов изготовления и 2 часов сборки. В общей сложности имеется 84 часа производства и 32 часа сборки. Определите производство для максимизации прибыли, если прибыль по продукту А составляет 50 долларов. А прибыль по продукту В-60 долларов.

Фабрика производит стулья и столы, каждая из которых требует выполнения трех операций: резки, сборки и Отделки. Первую операцию можно использовать не более 40 часов, вторую-не более 42 часов, а третью-не более 25 часов. Стул требует 1 часа резки, 2 часа сборки и 1 час отделки; стол требует 2 часов резки, 1 час сборки и 1 час отделки. Если прибыль составляет $20 за единицу для стула и $30 за стол, сколько единиц каждого должно быть произведено. Чтобы максимизировать прибыль?

Начнем с определения переменных. Пусть
с = количество сделанных стульев
т = количество сделанных столов

Прибыль, П, будет P = 20c + 30t.

Для резки сстульев потребуются 1счасы, а тстолов2т-часы. Мы можем использовать самое большее 40 часов, так c + 2t \leq40что .

Для сборки сстульев потребуются 2счасы, а тстолов1т-часы. Мы можем использовать максимум 42 часа, так 2c + t\leq42что .

Для отделки сстульев потребуются 1счасы, а тстолов1т-часы. Мы можем использовать самое большее 25 часов, так c + t\leq25что .

Поскольку мы не можем производить отрицательные предметы, c\geq 0, t \geq 0.

Построив график ограничений, мы можем увидеть выполнимую область.

Есть пять угловых точек для этого региона.

Точка 1: В левом нижнем углу, где t = 0крестики c = 0.

Точка: (0, 0)

Пункт 2: В левом верхнем углу, где c = 0крестики c + 2t = 40.
с помощью подстановки, 0 + 2t = 40, so t = 20.

Точка: (0, 20)

Пункт 3: В правом нижнем углу, где t = 0крестики 2c + t = 42.
с помощью подстановки, 2c + 0 = 42, so c = 21.

Точка: (21, 0)

Точка 4: Где c + 2t = 40крестики 2с + т = 42.

Мы можем решить эту проблему как систему, используя любые известные нам методы. Мы могли бы решить второе уравнение для с, давая c = 25 - t, а затем подставить в первое уравнение:

А потом с = 25 - 15 = 10

Точка: (10, 15)

Точка 5: Где 2с + т = 42крестики c + t = 25.

Мы можем решить эту проблему как систему, используя любые известные нам методы. Используя на этот раз другую технику, мы могли бы умножить нижнее уравнение на -1, а затем добавить его к первому:

Тогда, используя c + t = 25, мы имеем 17 + t = 25, так t = 8.

Точка: (17, 8)

Тестирование целевой функции в каждой из этих угловых точек:

Прибыль будет максимизирована за счет производства 10 стульев и 15 столов.


Дайте Ему Немного Подумать Ответы

1. МаксимальноP=14x+9y:

Построив график возможной области, мы видим. Что есть три угловые точки потенциального интереса:(0, 9),(5, 0), и пересечение двух линий на (3, 6). Затем мы оцениваем целевую функцию в каждой угловой точке.

Точка P=14x+9y
(0, 9) 81
5, 0) 70

П максимизируется, когдаx = 3,y = 6.

2. Пустьодин-число произведенного продукта А и бчисло произведенного продукта В.

Наша цель-максимизировать прибыль: P = 50a + 60b.

От производства мы получаем ограничение:

3a + 4b \leq 84

Из сборки мы получаем ограничение:

1a + 2b \leq 32

У нас есть угловые точки в (0, 16), (28, 0). Третья — на пересечении этих двух линий. Чтобы найти это мы могли бы умножить второе уравнение на2 и добавить:

Третья угловая точка находится в (20, 6)точке .

Оценка целевой функции в каждой из этих точек:

Точка П
(0, 16 P=50\left(0\right)+60\left(16\right)=960

Прибыль будет максимизирована при производстве 28 единиц продукции А и 0 единиц продукции В.

Раздел 8.4 Упражнения

Вставить упражнения обзора здесь


Раздел 8.1: Системы уравнений

  • Решающие системы
    Построение
    графиков Элиминация
    Сложение
  • Постановка систем уравнений
  • Непоследовательные и зависимые системы
  • Решение систем 3 на 3

Раздел 8.2: Неравенства в одной переменной

  • Свойства функции абсолютного значения
  • Решение уравнений абсолютных величин
  • Поиск перехватов
  • Решение неравенств абсолютных величин

Раздел 8.3: Линейные неравенства

  • Построение графиков линейных неравенств
    Пунктирная линия для строгих неравенств, сплошная для ≤ или ≥
  • Построение графических систем линейных неравенств

Раздел 8.4: Графические решения

  • Целевая функция
  • Уравнения ограничений
  • Выполнимый регион
  • Угловые точки
  • Фундаментальная теорема линейного программирования
  • Решение задачи линейного программирования с использованием графа