Методы решения задач линейного программирования графический метод

Это метод оптимизации линейной целевой функции и системы линейных неравенств или уравнений. Линейные неравенства или уравнения известны как ограничения. Величина, которая должна быть максимизирована или минимизирована (оптимизирована). Отражается целевой функцией. Основная задача модели линейного программирования состоит в поиске значений переменных. Которые оптимизируют (максимизируют или минимизируют) целевую функцию.

Мы знаем, что в линейном программировании линейные функции подчиняются множеству ограничений. Эти ограничения могут быть записаны в виде линейных неравенств или линейных уравнений.

Этот метод играет фундаментальную роль в поиске оптимального использования ресурсов. Слово Это означает. Что переменные имеют линейную связь между собой. Слово оптимальное решение выбирается из различных альтернатив.

При решении задач линейного программирования мы предполагаем следующее:

  • Ограничения выражаются в количественных значениях
  • Существует линейная зависимость между целевой функцией и ограничениями
  • Целевая функция. Которая также является линейной функцией. Нуждается в оптимизации

Логотип Superprof

Лучшие преподаватели математики доступны

Первый Урок Бесплатно>» src=»https://www.superprof.co.uk/resources/wp-content/themes/sp_ressources/dist/images/arrow-right-pink.svg» data-ll-status=»loaded»></div></div><p></a></p><h2 id=Особенности линейного программирования

Задача линейного программирования имеет следующие пять особенностей:

Ограничения

Это ограничения, установленные для основной целевой функции. Эти ограничения должны быть представлены в математической форме.

Целевая функция

Эта функция выражается в виде линейной функции и описывает величину. Которая нуждается в оптимизации.

Линейность

Существует линейная зависимость между переменными функции.

Неотрицательность

Значение переменной должно быть нулевым или неотрицательным.

Части линейного программирования

Основные части задачи линейного программирования приведены ниже:

  • Целевая функция
  • Переменные решения
  • Данные
  • Ограничения

Зачем нам Линейное Программирование?

Применение линейного программирования широко распространено во многих областях. Он особенно используется в математике. Телекоммуникациях. Логистике, экономике. Бизнесе и производстве. Основные преимущества использования линейного программирования приведены ниже:

  • Он дает ценную информацию о бизнес-проблемах. Поскольку помогает найти оптимальное решение для любой ситуации.
  • В машиностроении он решает вопросы проектирования и производства и облегчает достижение оптимизации форм.
  • В производстве это помогает максимизировать прибыль.
  • В энергетическом секторе это способствует оптимизации системы электроснабжения
  • В транспортной и логистической отраслях это помогает достичь временной и экономической эффективности.

В следующем разделе мы обсудим шаги. Связанные с решением задач линейного программирования.

Шаги для решения задачи линейного программирования

При графическом решении задачи линейного программирования мы должны следовать следующим шагам.

Шаг 1 — Определите переменные решения

Первый шаг состоит в том. Чтобы различить переменные решения. Которые управляют поведением целевой функции. Целевая функция-это функция. Которая требует оптимизации.

Шаг 2 — Напишите целевую функцию

Переменные решения. Которые вы только что выбрали. Должны быть использованы для записи алгебраического выражения. Которое показывает количество. Которое мы пытаемся оптимизировать. Другими словами. Мы можем сказать. Что целевая функция-это линейное уравнение. Состоящее из решающих переменных.

Шаг 3 — Определение набора ограничений

Ограничения-это ограничения в виде уравнений или неравенств на переменные решения. Помните, что все переменные решения неотрицательны. То есть они либо положительны. Либо равны нулю.

Шаг 4 — Выбор метода решения задачи линейного программирования

Для решения задачи линейного программирования можно использовать несколько методов. Эти методы включают в себя:

  • Симплексный метод
  • Решение задачи с помощью R
  • Решение задачи с помощью графического метода
  • Решение задачи с помощью открытого решателя

В этой статье мы специально обсудим. Как решать задачи линейного программирования с помощью графического метода.

Шаг 5 — Постройте график

После того как вы выбрали графический метод решения задачи линейного программирования. Вы должны построить график и построить линии ограничений.

Шаг 6 — Определение возможного региона

Эта область графа удовлетворяет всем ограничениям задачи. Выбор любой точки в допустимой области дает допустимое решение для целевой функции.

Шаг 7 — Найдите оптимальную точку

Любая точка в допустимой области. Которая дает максимальное или минимальное значение целевой функции. Представляет собой оптимальное решение.

Теперь, когда вы знаете. Какие шаги требуются для решения задачи линейного программирования. Мы перейдем к решению примера. Используя описанные выше шаги.

Пример

Пекарня производит два вида печенья-шоколадное и карамельное. Пекарня прогнозирует спрос не менее чем на 80 карамельных и 120 шоколадных печений в день. Из-за ограниченных ингредиентов и сотрудников пекарня может производить не более 120 карамельных печений и 140 шоколадных печений в день. Чтобы быть прибыльной. Пекарня должна продавать не менее 240 печений в день.

Каждое проданное шоколадное печенье приносит прибыль в размере 0,75 доллара. А каждое карамельное печенье приносит прибыль в размере 0,88 доллара.

а) Сколько шоколадных чипсов и карамельного печенья следует делать ежедневно. Чтобы максимизировать прибыль?

б) Вычислить максимальный доход. Который может быть получен за день?

Решение

Часть а

Выполните следующие действия. Чтобы решить вышеуказанную проблему.

Шаг 1 — Определите переменные решения

Предполагать:

Количество карамельного печенья. Продаваемого ежедневно = x

Количество шоколадных печений. Продаваемых ежедневно = y

Шаг 2 — Напишите целевую функцию

Поскольку каждое шоколадное печенье дает прибыль в размере $0,75, а каждое карамельное печенье дает прибыль в размере $0,88, поэтому мы запишем целевую функцию как:

P = 0,88 x + 0,75 y

, где x и y неотрицательны

Шаг 3 — Определение набора ограничений

В задаче упоминается. Что прогноз спроса на карамельное печенье составляет не менее 80, а пекарня не может производить более 120 карамельных печений. Поэтому мы запишем это ограничение как:

80 \leq x \leq 120

Также упоминается. Что ожидаемый спрос на шоколадное печенье составляет не менее 120 штук. А пекарня может производить не более 140 штук печенья. Таким образом. Второе ограничение:

120 \leq y \leq 140

Чтобы быть прибыльной. Компания должна продавать не менее 240 печений в день. Таким образом. Третье ограничение:
                                                                                        x + y \geq 240
Шаг 4 — Выбор метода решения задачи линейного программирования
Решение вышеприведенной задачи мы найдем графически.
Шаг 5 — Постройте график
P = 0,88 x + 0,75 y подвергается следующим ограничениям:
                                                                                           80 \leq x \leq 120
                                                                                           120 \leq y \leq 140
                                                                                           x + y \geq 240
Шаг 6 — Определение возможного региона
Пример графика

Зеленая область графика-это область осуществимости.

Шаг 7 — Найдите оптимальную точку

Теперь мы проверим вершины области осуществимости. Чтобы определить оптимальное решение. Вершинами являются:

(120, 120) , (100, 140), (120, 140)

(120, 120) Р = 0.88 (120) + 0.75 (120) = $ 195.6

(100, 140) Р = 0.88 (100) + 0.75 (140) = $ 193

(120, 140) Р = 0.88 (120) + 0.75 (140) = $ 210.6

Следовательно. Пекарня должна производить 120 карамельных печений и 140 шоколадных печений ежедневно. Чтобы максимизировать прибыль.

Теперь мы перейдем к решению части в задачи.

Часть b

Ответ на часть в дан в предыдущем разделе. Максимальная прибыль. Которую можно получить за день. Составляет $210,6.